über die 



Begründung der Methode der kleinsten Quadrate. 



Von 



H™- E N C K E. 



[Gelesen in der Akademie der Wissenschaften am S. December 1831.] 



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^ei einem Gegenstande, der schon so häufig, und gerade von den ausge- 

 zeichnetsten Mathematikern des In- und Auslandes behandelt worden ist, 

 möchte das nochmalige Zurückkommen darauf fast überflüssig erscheinen. 

 In der That soll auch das Folgende nicht im entferntesten eine Erweiterung 

 bezwecken, sondern nur als ein Versuch gelten, die Lücke, welche sich bei 

 der theoretischen Begründung der Methode der kleinsten Quadrate noch im- 

 mer findet, wenn nicht auszufüllen, doch wenigstens näher anzudeuten, und 

 wo möglich einfachere Sätze, als man bisher angewandt hat, aufzustellen, 

 um von ihnen ausgehend auf directem Wege die Methode der kleinsten Qua- 

 drate zu begründen. 



Es sind hauptsächlich 5 Arten des Beweises der Nothwendigkeit dieser 

 Methode, welche bis jetzt aufgestellt worden sind. 



Legendre in seiner Abhandlung: Nouvelles methodes pour la deler- 

 mination des orbites des cometes, Paris 1806, wählt sie, weil bei ihr zwischen 

 den übrig bleibenden Fehlern ein sehr angemessenes Gleichgewicht sich her- 

 stellt, weil sie jedesmal nur eine ganz bestimmte Auflösimg finden lehrt, 

 weil eine sehr bemerkenswerthe Analogie mit dem Schwerpunkte hervortritt, 

 und weil aufserdem das Princip des arithmetischen Mittels in den einfache- 

 ren Fällen, in welchen man bisher dieses letztere angewandt hat, in der 

 Methode der kleinsten Quadrate enthalten ist. Er betrachtet ihre Anvren- 

 dung folglich nur von Seiten der Yortheile, welche sie gewährt. 



Ahnlich ist das Verfahren von Gaufs in den zwei Abhandlungen: 

 Theoria comhinationis ohservationum erroribiis minimis ohnoxiae in den Göt- 

 tinger Comment. 1821. Das Gesetz, welches er seiner Einfachheit imd der 

 Mathemat. Ahhandl. 1831. K 



