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Leichtigkeit der Auwendung wegen in der ersten Abhandlung §. 6. als das 

 passendste zur Entscheidung über die Unsicherheit der Beobachtungen auf- 

 stellt, führt in der Anwendung zu denselben Vorschriften, wie die Methode 

 der kleinsten Quadrate sie giebt. Er giebt die Willkührlichkeit dieses Ge- 

 setzes in gewissem Sinne zu, behandelt aber aufserdem das Froblem auf eine 

 eben so elegante als allgemeine Weise, und entwickelt aus der einzigen ge- 

 raachten Voraussetzung alle Folgerungen mit überraschender Einfachheit. 



In der Theorie analjüque des Prohahilües zeigt Laplace, dafs die 

 Methode der kleinsten Quadrate auf doppeltem Wege sich erhalten läfst. 

 Einmal, wenn man die Fehler der Beobachtungen als den Verlust in einem 

 Spiele betrachtet, in welchem man nie gewinnen kann, weil man nie mehr 

 als die Wahrheit erhalten kann, und wenn man dabei die Gröfse des Ver- 

 lustes schätzt nach der Gröfse jedes Fehlers, den letzteren immer positiv 

 genommen. Zweitens auch abgesehen von dieser Betrachtung, wenn die 

 Anzahl der Beobachtungen sehr grofs ist oder dem unendlichen sich nähert. 



Früher hatte in der Theoria motus corporum coelestiiun Gaufs bewie- 

 sen, dafs nicht blofs, wie nach Legen dre, die Methode der kleinsten Qua- 

 drate das arithmetische Mittel in sich schliefst, sondern dafs auch diese Me- 

 thode sich aus dem Princip des arithmetischen Mittels strenge herleiten läfst. 

 Das letztere als Gnmdsatz betrachtet, wird folglich die Methode der klein- 

 sten Quadrate bewiesen sein. 



Es scheint, dafs diese verschiedene Beweisarten noch nicht ganz das 

 gewünschte Ziel erreichen lassen. Wie grofs auch die Vortheile oder die 

 innere Consequenz und Einfachheit einer Methode sind, so kann darin allein 

 noch nicht die absolute Nothwendigkeit liegen, sie in jedem Falle aus- 

 schliefslich vor jeder andern zu gebrauchen. Die Voraussetzung einer sehr 

 grofsen Anzahl von Beobachtungen trifft in der Anwendung so gut wie nie- 

 mals ein, so dafs gerade in den Fällen des Gebrauchs der Vorzug der Me- 

 thode ungewifs bleibt. Die Schätzung des Verlustes nach der Gröfse des 

 Fehlers enthält eine wenigstens nicht bewiesene Annahme über das gegen- 

 seitige Verhältnifs derselben unter sich. Endlich bedarf das Princip des 

 arithmetischen Mittels selbst eines Beweises, und kann an und für sich be- 

 trachtet nicht als Grundsatz gelten. 



Soll man sich indessen für einen dieser Wege entscheiden, so möchte 

 der letztere Weg, durch das arithmetische Mittel zu der Methode der klein- 



