über die Begründung der Methode der kleinsten Quadrate. 75 



sten Quadrate zu gelangen, für die meisten Benutzer derselben wolil der an- 

 sprechendste sein. In vielfacLer Hinsicht beruht alle Kenntnifs, welche wir 

 überhaupt in allen Erfahrungswissenschaften von dem wahren Werthe der 

 Gröfsen haben, auf diesem Principe, und sonach könnte man das, was dem- 

 selben an strenger Beweisführung aus dem theoretischen Gesichtspunkte be- 

 trachtet abgeht, hinlänglich durch die Erfahrung so vieler Jahrhimderte er- 

 setzt glauben. 



Man hat grüfstentheils bisher das Princip des arithmetischen Mittels 

 als einen Satz betrachtet, der nur als Grundsatz aufgestellt werden könne, 

 gleichsam als sei er zu einfach, um auf andere Sätze zurückgeführt zu wer- 

 den. So spi'icht sich auch Lambert in der Photometrie Cnp.III. §. 1. über 

 dasselbe aus, als über eine alte, durch vielfältigen Gebrauch geheiligte Sitte. 

 Indessen hat schon Lagrange in den Turiner Memoiren 1770- 1773 in 

 einer Abhandlung über die Nützlichkeit des arithmetischen Mittels gezeigt, 

 dafs bei einer grofsen Anzahl von Beobachtungen, in welcher die Fehler als 

 nach ihrem Gesetze vertheilt angenommen werden können, das arithmetische 

 Mittel das wahrscheinlichste Resultat gäbe. Hierin scheint die Verbindung 

 zwischen den Beweisen von Laplace und dem letzten von Gaufs zu liegen. 

 Beide fallen zusammen, wenn man den bei dem einen zum Grunde liegen- 

 den Grundsatz ohne weitere Bestimmung des Gesetzes aus der Voraussetzung 

 des andern herleiten kann. 



Man kann indessen versuchen, auch ohne die Annahme einer sehr 

 grofsen Anzahl von Beobachtungen, das Princip des arithmetischen Mittels 

 als das wahrscheinlichste, oder doch als das einzige völlig consequente und 

 vorzugsweise zu wählende Verfahren zu beweisen. 



Man nehme eiue beliebige Anzahl von Beobachtungen, bei welchen 

 die Voraussetzung einer völligen Gleichmäfsigkeit in allen den Punkten, 

 welche auf die Genauigkeit Einflufs haben, statt findet. Da man über das 

 Gesetz der bei ihnen vorkommenden Fehler völlig unwissend ist, so werden 

 alle die Resultate, welche man erhalten kann, ohne gegen die Voraussetzung 

 der Gleichheit der Umstände zu vei-stofsen, als möglich betrachtet werden 

 können. Versucht man nun aber alle Wege, welche dabei eingeschlagen wer- 

 den können, so läfst sich auf die folgende Art zeigen, dafs nur das arithme- 

 tische Mittel diese Bedingimg bei jeder beliebigen Anzahl strenge erfüllt, 

 sobald man den folgenden Satz als Grundsatz aufstellt: 



