iiher die Begründung der Methode der kleinsten Quadrate. 77 



oder allgemeiner durch 



a: = ^^ ((4-^-4-c),c) 

 = ^{i^s-^a),a) 



x=.-^(s,c) (3) 



= <^ {s, b) (4) 



= ^ {s, d) (5) 



Welche Form man auch für -J/ annimmt, so wird die Anwendung doch 

 jedesmal mit x=.f{a,b,c) wegen der Gleichheit der Beobachtungen über- 

 einkommen müssen. Allein da s schon an sich eine symmetrische Function 

 ist, so kann dieses nur geschehen, wenn aus -v^ sowohl c als b und a neben s 



herausfällt, oder einfach 



X = 4^ {s) 



wird. Für den Fall a-=.b=.c wird aber wieder keine Wahl sein. Mau hat 



dann x-=a folglich 



a = -^ (3 a) 

 oder \^ = 4-- 



Überhaupt wenn das arithmetische Mittel für n Beobachtungen gilt 

 so gilt es auch für n + i, wegen des gleichzeitigen Werthes 



X =/" (a, b, c n) 



Nun aber gilt es für drei Werthe, also auch für 4, 5, und jede beliebige 

 Anzahl. 



Hiernach scheint es, dafs das arithmetische Mittel in dem einfacheren 

 Falle, in welchem allein es in Anwendung gebracht werden dai-f, das ein- 

 zige Verfahren ist, was erlaubt werden kann, sobald der obige Grundsatz 

 feststeht. 



Dieser aber hängt geradezu mit der Annahme zusammen, dafs je grö- 

 fser die Zahl der Beobachtungen ist, um so mehr Hoffnung zur Erreichung 

 der Wahrheit vorhanden ist, und bei einer unendlichen Anzahl die Wahr- 

 heit selbst erlangt wird. Denn wären gleiche Fehler, abgesehen von ihrem 

 Zeichen, nicht gleich wahrscheinlich, so wüi'de nach der WahrscheinUch- 

 keitsrechnung aus der Erfahrung auch das kleinste Übergewicht auf der einen 



