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§.2. 



Ich halte schon vor mehreren Jahren Veranlassung, die Eigenschaften 

 von n beliebigen Punkten im Räume, die zu zwei durch gerade Linien auf 

 alle mögliche Arten, dann auch die JMitten dieser Linien auf alle mögliche 

 Arten zu je zwei und zwei verbunden werden, zu untersuchen; ich verglich 

 mein Resultat für 4 Punkte mit dem Carnotschen für diesen Fall, ich hatte 

 d= ^ D; C a r n o l s allgemeine Formel giebt d=.^ D. 



Es wird nicht uninteressant sein, meinen ganz elementaren und sehr 

 einfachen Beweis für 4 beliebige Punkte im Räume vorzutragen. 



§. 3. 



Es seien (Fig. 1 , 2 u. 3.) J, ß,C, D A beliebige Punkte im Räume, die 

 je zwei und zwei durch gerade Linien verbunden werden, dieses giebt 

 — ■=zG gerade Linien JB, AC, AD^ BC, BD, CD, diese haben also auch 

 ö Mittelpunkte a,b,c,d,e,f, werden nun auch diese je zwei und zwei durch 

 gerade Linien verbunden, so erhalten wir noch -^^15 neue Linien, ah, 

 ac, ad, ac, af, bc, bd, bc, bf, cd, ce, cf, de, df, ef. 



Es soll nun bewiesen werden, dafs : 



ab'+ac'+ad'+ae^+cif'^ 

 + bc''+ bd^+ be^'-i- bf- 



-\-cd'+ce"--{-c/'} = ^[AB'-hAC'+JD'-hBC'-i-BD"- + CD']. 



^de'+df 



§.4. 



Es läfst sich leicht zeigen, dafs abcd, aecf, bedf ArQi Parallelogramme 

 sind , deren Diagonalen ac, bd, ef sich also in einerlei Punkt P schneiden 

 und gegenseitig in diesem Punkt P sich halbiren müssen, daher folgende 

 Gleichungen 



ah' + bc' + cd' + da' = ac' + bd' = ^^' "^ ^^' 



'' '■ ae' + ec^ ■+■ cf' -\- fa" = ac' + cf = 



2 



le' + cd' + df + fb' = bd' -\-ef' = ^1^1±--^'' 



Mith 



m: 



