Berichtigung eines Ton Carnot gegebenen geometrischen Lehrsatzes. 9 9 

 ■ = 2 [ac-+bd-+ef-'\ = 4 



al/' ■+■ bc' + cd' ■+■ da' 

 ae'^ -\- ec' -^ cf' + Ja" 

 be" + ed' + d/' + fh' 



dazu addirt 



'JC' + BD- + 

 AD- +BC"--if 

 JB- 4- CD- 



£;iebt 



'JC' + Bir--^- 

 JD' +BC'-h 

 AB' + CD 



\ 

 ] 



ac" + hd' + ef' = ac'-^-bd^+ef" =z 



ab' 4- ac'^ + ad" + ae' + af" 

 + Z'C- + bd' + Z-e" + bf- 



, ' ^de' + df- 



+ er 



= 4 [AB' + AC"- + AD' + BC' + BD"' + CD']. 



§.5. 



Die allgemeine Formel, die Carnot giebt, ist also nicht richtig für 

 das Vierseit. Für mehr als 4 Punkte im Räume ist es auf dem eingeschlage- 

 nen Wege nicht mehr thunlich sie zu prüfen. Ich mufs daher einen andern 

 Weg einschlagen, der uns zugleich zu der richtigen allgemeinen Formel füh- 

 ren wird. 



§• 6. 



Es ist leicht zu begreifen, dafs der Punkt P derjenige Punkt ist, den 

 ich in meiner Akademischen Abhandlung: ,,Uber die Vereinfachung 

 und Erweiterung der Euklidischen Geometrie" 1815. §. 51. den 

 Punkt der mittleren Entfernungen genannt habe, daher müssen auch 

 alle Eigenschaften dieses Punktes, welche in jener Abhandlung erwiesen wer- 

 den, hier unbedingt ihre Anwendung finden. Ich werde, um den Gang der 

 Untersuchung recht deutlich zu machen, es zuerst bei 4 Punkten im Räume 



zeigen. 



§.7. 



Denkt man sich (Fig. 1, 2 u.3.) von P aus nach allen 4 Punkten A, 

 B,C,D Linien VA, VB, PC, VD gezogen, so bilden diese 4 Linien mit je- 

 nen 6 Linien AB, AC, AD, BC, BD, 6 Triangel, daher folgende 6 Glei- 



chimgen : 



N2 



