HO G n ü s o n: ' " 



nalen gleich der 4fachen Summe der Quadrate über jene 5 Mit- 

 tellinien. 



Anfängern mag folgender Beweis willkommen sein (Fig. 4.): 



Es soll bewiesen werden, dafs 



(AB- -H BC- -f- CD- -H DE- + EA") + (AC" + CE' -f- EB- ■+■ BD- -h DA") 



= 4 [FL- + G/W= -+- HN- ■+- /O- + ä:P=]. 



B <> w e i s. 1) BA- -f- AC- -+- fö" -^ DB- = BC" -j- ./Z> - -j- 4 G/J/^ ^ 



„ j liebigen Punkton 

 I im Räume. 



4 GM^\ 



2) BC^ H- C^- + ED- -t- Z»5= = CD- -h .ß£'- -h 4 ÜN- 1 •''"seme'ne Eigcn- 



-)\ ^.T-." 7-. .1 vr.« i-./'io T-.1-.» y^" _ „„ I scliaften von 4 he- 



3) 6Z>- -H Z>.^- -f- ^f:- + EC- = DE- -f- ^C- + 4 / O" ' 



4) r'£'^ + EB- -+- £Z)- -f- Z>.^= = AE- + 2?ö- + 4 /T/'^ 



5) £"./- -t- yiC- + C5- -t- ^£- = AB- + Gii- + 4 FZ= 



folglich 



//5- -t- BC- + CD- + Z»^'- + EA- + .^C- + CE- + EB- + ßö' -h /?y/' 

 = 1 [Gy7/- + HN- -t- /O'^ + KP- -H F/.=]. 



Bezeichnet man hier die Summe der Quadrate aller 5 Seiten mit iS"^, 

 die Summe der Quadrate aller 5 Diagonalen mit D' , imd die Summe der 

 Quadrate aller hier genannten Mittellinien mit M' , so läfst sich obiger Lehr- 

 satz symbolisch darstellen durch 



I. S' + D"- ^ !iM\ 



§." 27. 

 Aus der (Fig. 4.) ergiebt sich ferner: 



, 1) CB' -i-BD- -h DA^ -t-AC- =AB- -t- CD'' -hi FH^ 



,;• 2) DC- -+■ CE- + EB' -+- BD- = BC- + DE' + 4 Gl' 



3) ED-+DA- + AC- -i- CE- = AE- -h CD- -h/^HK- 



4) AB- + BE- -f- EC'' ■^- CA"- = AE' + BC" + 4 GÄ"» 



5) BD--+- DA- -(- ^£"2 + EB- = ^5= -t- DE' -f- 4 F/^. 



folglich S' -^ iD"- =2S' + hm^ 



(wo m" die Summe der Quadrate aller 5 Mittellinien der beiden andern Sei- 



, • ; I , "i ten der in g. 26. gedachten Trapeze) 



also ' ; i - < II. iD- = S--^hm'' 



da nun S" -h D' = hM" (I) 



so ist KD" = 4^/' + 4//»'' 



