Berichtigung eines von Carnot gegebenen geometrischen Lehrsatzes. 113 



Da JBCE ein Vierseit im Kreise ist, so ist nach dem Ptolemäischen 



Lehrsatze 



11) a'^ + ab^h". 



Es können also hier alle vorkommende Gröfsen durch die Seite a 

 leicht ausgedrückt werden. 



§. 3Ü. 



Macht man die Verlängerung von BJ, d. h. ^S = AB^ und setzt 

 SQ perpendicular auf BD, so haben wir 



SQ = 2KO = 2c 



also 



kc" = ha'' — {b — a)' 



= a- + 2(a- + ab) — b' 



= a' + 2b- — b- (weil a^ + ab = b"-) (§. 29.) 



= a' + b'. 

 wie (§.29. 4). 



Eben so liefsen sich aus der Figur auch die audern Relationen ab- 

 leiten. , .. i. - . , ... , , 



Ich erlaube mir noch eine Übereilung von Herrn J. D. Gergonne 

 anzuzeigen, wodurch wenigstens Anfänger verführt werden könnten. 



In den Annales de MatJiematifjiies^ ledige par J. D. G. Toni. IX. p.29-i. 

 giebt dieser anerkannt grofse Geometer von der Aufgabe : 



Etant donnees les trois hauteurs d'iin trianglej construire le triangleP 



wörtlich folgende, scheinbar höchst elegante, Auflösung: 



Soient a, a', a" les trois hauteurs donnees^ et x, x', x" les trois cote's inconnus 

 du triangle cherche. Nous aurons 



, ax =: ax = a X .. 



■ 1 Avec ces trois hauteurs, prises comme cötes, soit conslruit un triangle a a a", 

 ;-^ dont les hauteurs soient b, b', b"; nous aurons encore .■.<!. >.; >: ,:.y,u /i 

 ■"'*'o •_. ■ ---J ■ - ab = a'b'=a"b". ' "'-—■;'-■''' ^ - ^ü-'"-' 



Enfin, avec les trois hauteurs b, b', h" de cehii - ci, construisons - en un 

 Mathemat. Abhandl. 1831. P 



