132 ' ' ^ DiRKSEN über die Melhoden, " ^^ 



Da sich der Ausdi-uck (33), dem Eulerschcn {Calc. dijff. art.iib.) 

 analog, nur auf -^- + i, oder — ^ + i, verschiedene Functionen und auf eine 

 Anzahl von m + n + i, oder m + n, besondern Werlhen , je nachdem na- 

 mentlich ji gerade oder ungerade ist, bezieht, so sind, für den Zweck einer 

 numerischen Berechnung, seine Vorzüge vor (27) einleuchtend. Nur in Ab- 

 sicht auf die Grenze t für die Annäherung an C' f{x)dx, mittelst desselben 

 Werthes für w, steht, vrie aus der Vergleichung von (32) und (26) mitein- 

 ander erhellet, der Ausdruck (33) dem Ausdruck (27) nach. 



Nimmt man in Bezug aufy^(j), x^ und X den noch mehr besondern 

 Fall an, dafs man, unabhängig von jx, habe 



(34) /(— )(^^+/) _/(^.-0(j, j = 0, ■' ■ ^ '^ 



so reducirt sich der Ausdruck (33) auf • " '■' , * '■ ■- " ' '^ '"' ' 



(35) '. . . c.|4-/(x„) +T/(x„-t-p) + -:-/(^o+o}: " ' ■ - . 



dergestalt, dafs alsdann das auf der rechten Seite der Gleichung (30) befind- 

 liche, oben mit / bezeichnete, bestimmte Integral eine von m unabhängige 

 Gröfse bildet. 



Dies ist der Fall, vrelcher im zweiten Theile von Herrn Legendre's 

 Tratte des fonctions elliptiques, unter der Ubei'schrift : ,, Examen d'itn cas 

 parücidicr fori lemarcj nable'' besonders untersucht, luid dessen Resultat da- 

 selbst als ein schwer zu erklärendes Paradoxon angesehen wird. 



Endlich verdient noch bemerkt zu werden, dafs die Gleichung (31) 

 für n ^ 1 in 



^^^^ • -X/^^^)^"^ = ^{-^A^o) +T/(x„-i-ec.) + 4/(^-o-i-o) 



übergeht. • • . , , , 



§.S. 



Unter der Voraussetzung, dafs/"' ""''"(j;), von x-=^x^ bis x-=X, con- 

 tinuirlich bleibe, hat man, nach (18) 



