über die Theüung des Dreiecks. 95 



(mit einander zti multiplicirenden) Linien auf der einen Seite der Gleichung, 

 zu denen auf der andern Seite ; im obigen Falle ist die Summe der fünf 

 (gleichwinkliehcn) Parallelejiipede der mit einander zu multiplicirenden Li- 

 nien der zweiten Hälfte der Gleichung gleich dem Parallelepiped der Linien 

 der ersten Hälfte. 



Eine blofse Variation dieses ersten Folgesatzes ist z. B. die Gleichung 



ou{j' + z)=pv{y + z)+z{o-\-p){u-\-v); 



in Worten: das Produkt zweier Eckstücke mit der ganzen dritten inneren Linie 

 ist gleich dem Produkt der zugehörigen Seitenstücke mit der nemlichen dritten y 

 plus dem des Seitenstücks der letzteren mit den leiden andern ganzen. Oder: 



o (ii+v) (7+2) = z {o+p) (w + i') -f- V (o-i-p) O'+s), 

 d. i. das Produkt des Eckstücks mit den beiden andern inneßn Liniert ist gleich 

 der Summe der zwei Produkte^ je eines Seitenstücks der beiden letzteren^ mit 

 den beiden andern ganzen. 



Beide Formen ergeben sich direct aus der Yergleichung unserer ange- 

 führten 10"° Proportion mit der 8'" (*). 



'cko = p (ei^ fk) 

 n. )l>iuz=v(l>k+ai) 



In Worten : Das Produkt zweier gegenüberliegender Stücke der Seiten 

 des Dreiecks mit dem Eckstück der sie nicht berührenden inneren Linie ist gleich 

 demProdukt desSeilenstücks derselben inncrenLinie mit der Summe derProdukte 

 aus den nemlichen einzelnen Stücken der Seiten in das Supplement der anderen. 



Der Beweis liegt in der 6"°, 7'"" imd 13'"° der a.a.O. gegebenen Pi-o- 

 portionen am Tage ('). 



(') Dort war nemlicli : 



V (o-i-p) : o (tt-h (') = (■ (_>•+=) : = (ti ■+- 1') + 1' (r+~) 



Also o (u -+- f) (j--i- z) = (o -hp) - („ H- r) -f- (o -hp) i' Cr + :) 

 und ou (f-t- z) =pv ( r-f- s) -h (p -hp) z{u-+- f) , wie oben. 

 (-) Die 13"^ Proportion z.B. sab 



o '.p=fk-\- ei : ck ; dalier cko u. s. w. wie oben . 

 Die 6"^ gab a '.b =iu — Xi- : /V ; 



also biu =aiv-i-ljk\'-= V {ai-i-bk) wie oben. 

 Die 7'"^ gab a : b = fz : fy — ez ; daher 

 afy =bfz-\-aez= z (ae-t-bf) 



