95 Weiss: Weherer Verfolg des Lehrsatzes 



Um für eine Gröfse, wie {ei+fk), einen kurzen Ausdruck zu haben, 

 können wir sie auch das Kreuzprodukt in der Ecke nennen ('), im Ge- 

 censatz des Kreuzproduktes an der Seite, wie wir eine Gröfse wie 

 (ae-\-hk), oder auch des Kreuzproduktes quer- über, oder an- Eck'-und- 

 Seite wie wir eine Gröfse wie {af+li) nennen würden; endlich auch im 

 Gegensatz der Nicht -Kreuzprodukte, wie z.B. ai+fb. 



Aus den drei vorigen Gleichungen (11) zusammen ergicbt sich: 

 m. abefikoiij= pvz (ei+fk) {hk + ai) {ae+hf) , oder 

 pvz : oiij=^aheJik: {ei+ fk) (pk + ai) (ae-t-bf) , d.i. 

 das Produkt der Seilenslücke der inneren Linien verheilt sich zum Produkt der 

 Eckstücke, wie das Produkt der sechs Stücke der Seiten des Dreiecks zum Pro- 

 dukt aus den drei Kreuzprodukten in der Ecke; oder (erste Gleichung) das 

 Produkt der Eckslilcke der innei-en Linien in die sechs Stücke der Seiten ist 

 gleich dem Produkt der Seitenslücke der inneren Linien mit den Kreuzpro- 

 dukten in der Ecke. 



'beou z= pi> (a + b) (e-{-f) 



IV. )ßuj-=^'z{e+f){i + k) 

 akoj = pz {a-\-b) (/ -H k) 

 Es ist also das Produkt zweier in einem Winkel des Dreiecks zusam- 

 menstofsender Stücke der Seiten mit den Eckstücken der inneren Linien der bei- 

 den anderen Winkel gleich dem Produkt der nemlichen ganzen Seiten mit den 

 Seitenstücken derselben inneren Linien. 



(') Aus der in der vorigen Äbliandlung a.a.O. S. 242. aus dem allgemeinen Lehrsatz ab- 

 geleiteten Gleichung aci = bfk (im abgekiirzten Ausdrucke, vgl. Prop. 1. S. 245.) geht hervor, 

 dafs eine Gröfse wie </ -\-fk = ~ ci -h —fk; eine Gröfse wie ae + ZiA == -^ fre -|- -^ ä A- ; 

 und eine solche wie ai-\-fh = ^- o' -t- -^f^'> C'"^ Reibe auszeichnender Eigenschaften, 

 ■welche eine Gröfse wie (af-\- hi) nicht mit ihnen iheilt. 



Dafs vi{a + h)=b {ci+fk), fk{a-i-b) = a (ri+fk) u. s, f. , wie z.B. die Ver- 

 gleichung der 12'"'° und 13""°, der U"" und 13"^° Proportion direct giebt, ist die nächste 

 Folge von aei=b/k ; aus beiden aber geht wieder hervor 



cij'k {a-i-l>y-= ah {ci-\-fk)- , und hieraus 



ci +fk = (« + i) V—Ji^~ ; auch 



eifk (ii- + b-) = ab ((''0"+ (Z'^)") = ab (e-r-i-/- k') ; '.der auch 

 L 



ieir-i~(m'=(~-h--)oi/k 



