98 Weiss: Weiterer Verfolg des Lehrsatzes 



Vei-glcicht man nun diese Gleichung mit der obigen No. III. , so folgt : 



VI. (a + b) (e+/) (i+k) y'abefik = (ei+ß) (b/c + ai) {ae + bf) 



also : das Produkt der drei Seiten des Dreiecks imdtiplicirt mit der Quadrat- 

 wurzel des Produktes üii-er sechs Stücke, ist gleich dem Produkt der drei 

 Kreuzprodukte in den Ecken. 



Einen minderen Grad von Symmetrie in der Lage der bezeichneten 

 Theile, aber dennoch einen gleich hohen Grad von Einfachheit in der Form 

 zeigen die folgenden Gleichungen : 



aeo =fp (a + b) 

 bko = ip (a+b) 



\fbu = ai'(e+f) 



iay =.bz {i -\-k~) 



.kjy=ez{i-\-k) 



Wollte man auch diesen Gleichungen noch Worte geben, so würde man 

 sagen können : das Produkt zweier abwechselnder Stücke der Seiten mit dem 

 sie beide nicht beridirenden Eckstücke ist gleich dem Prodidit aus dem Seiten- 

 stück derselben inneren Linie ^ der ganzen Seite, gegen welche diese sich kehrt, 

 und dem Supplements fück der anderen 7'on jenen zwei Seiten. 



Die Richtigkeit dieser Gleichungen aber ergiebt sich ims, der 2"% 3"°, 

 4"° und 5"", so wie aus der ll"" und 12"'° tmserer a.a.O. entwickelten Pro- 

 portionen theils luimittelbar, thcils durch Substituirung der analogen Glie- 

 der; oder auch durch Vergleichung z.B. der 1 l"'"und 14'"", der 12"°und 15'", 

 der 13"" und 16'™, der 13"-° und 17"°, der 13'"- und 19"-°, der 14"^" und 16'", 

 der 15"" und 17"", der lö'^imd 19 ""Proportion. 



Aus diesen sechs Gleichungen zusammen folgt wieder : 



a"b"e'f'i-k'-o-u')"=p'v'z- (a-i-b)' (e-\-f)" (i-^k)' abefik , d.i. 

 abefiko'u'j'^p'v'z" (a-k-l)' (r+/')- (/-f-/)", wie oben in No. V. 



Zugleich wäre also mit No. V. auch die Richtigkeit der Gleichungen 

 No. IV. indirect bewiesen. 



