104 Weiss: TVeiterer Verfolg des Lehrsal::,es 



für — «esctzt werden ^ •— u.s.f. (') Eben so läfst sich in jeder Propor- 

 tion oder Gleichung, wo a'.a-^b oder b:a-^bn.sÄ. in gleicher Art vor- 

 kommt, jederzeit substituiren das gleichgeltende/^:/A-l-e/, oder <?/:/X+e/ 

 U.S. f. welche letztere Gröfse, wie man sieht, unser ICreuzprodukt in der 



Ecke war. 



Zunächst hätte man auf diesem Wege oder aus der Verglcichung un- 

 serer 1"'" und 10'", oder 18"" und 19'" Proportion u. s. w. hervorgehend die 



Gleichungen : 



(aei> {o+p) = hfp {ii + v) 



XVn. L ,p (;■+ c) = bkz (o +p) 



eiz (« + iO=/^-''(r+-) 



oder auch, wie zugleich aus der Verglcichung unserer 1"" und 8"'° Propor- 

 tion hervorgeht : 



XVIII. cio 11 = eip V + fk v (o -{-p) 



Oder : XIX. ein (a + b) — bk {fu+fv + ev, 



wie die Verglciclmng der 12"'"'und 16"° Proportion giebt, und welches sich 

 auflöst in fii (a + b) = a (fu+fi^ + ei') , d.i. bfu = ai'(e +f) 



s o wie / kj {a + b)^= ae (ij -\-iz + kz), 



welches die Verglcichung der 1 1"° und 17"° Proportion gicbt, sich durch 



ij(^a-i-b) = b (if-i-iz + kz) auflöst in aij- = bz (i+k) 

 Oder : XX. bjk {r + z) = ez {a /+ b /-h b k) , 



wie die Verglcichung der 12"° und 1S"° Proportion giebt, und welches sich 



verwandelt in aei (y+z) ^= ez{ ), d.i. in ai(j-+z) = z {cii+bi+bk), 



also in aiy = zb (i+k). 



Die 11" und 19"Pi-oportion vei'glichen, geben eben so: 

 aei (^u-i-v) = ki' {ae-\-af+bf) = aeki> +Jkv {a-{-b) ; 

 also: bi(ii + v) = bku + tv (a+b), 



wie die Verglcichung der 12""° und 1 9"° Proportion auch unmittelbar giebt, 

 und welches zurückkommt auf bin = v {bk-\-ai). 



(') So verwandelt sicli aiicli z. B. eine Gleicliimg wie oben in No. VII. yZi« = ai'{e+f) 

 in die andere eiu = ki' {e-i-f); nemlicli, wenn für y, c/, und für rt, Z-Ä gesetzt wird, so 

 hat man ejÄ« = ÄÄf (e+y), ül.'i. eiu = k<,' {e-+-/). 



