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Lehrs. 13. Zwei Kräfte ^, und ^„ eines Systems P, an einem freien 

 materiellen Punkt 31 im Gleichgewicht gedacht, müssen einander in 

 Absicht auf die Richtung entgegen gesetzt seyn. 

 Beweis. Bezeichnet Q ein mit P symmetrisches System von zwei 

 Kräften j5, und B„ , so wird sich der Punkt M, da derselbe unter P im 

 Gleichgewicht ist (Vorauss.) , auch unter Q (Lehrs. 10,), und daher auch 

 unter P und Q zusammen (Lehrs. H, <?) im Gleichgewicht befinden. Ist 

 nun der Winkel «, zwischen den Richtungen von ^ , und j4n enthalten, von 

 180° verschieden, so wird man sich das mit P symmetrische System Q so 

 angebracht denken können, dafs die Richtung von B, mit der von y/^, con- 

 gruent und der Winkel zwischen den Richtungen von ^, und B.^ enthalten, 

 gleich a sei. Da alsdaim y/, imd B., ein mit P symmetrisches System von 

 Kräften bilden (Constr. Erkl. 11.), so wird sich M unter diesem allein 

 (Vorauss. Lehrs. 10.) und daher auch unter y4., undB, allein (Lehrs. H, ^) im 

 Gleichgewicht befuidcn. Da endlich diese beiden Kräfte von einei-lei Rich- 

 tung (Constr.) imd daher durch eine einzige zu subslituiren sind (Lehr. 3, l>): 

 so steht dies Ergebnifs im Widerspruch mit Erkl. 6, IL Daher kann, im 

 Falle des Gleichgewichts zweier Kräfte, der W inkel et, zwischen ihren Rich- 

 tungen enthalten, nicht von ISO'^ verschieden gedacht werden. 



Lehrs. 14. Jede Kraft ^ befindet sich mit einer, ihr in Absicht auf die 

 Richtung entgegen gesetzten, Ki-aft B an einem freien materiellen Punkt 

 31 im Gleichgewicht, die ihr der Intensität nach gleich ist. 

 Beweis. Da sich zu jeder Kraft ^ eine andere Kraft denken läfst, die 

 ihr an einem freien materiellen Punkt 31 das Gleichgewicht halte (Lehrs. 9, 

 Erkl. 6, n.), luid diese ihr, zu solchem Behuf, in Absicht auf die Rich- 

 tung, entgegen gesetzt seyn mufs (Lehrs. 13.): so bezeichne n eine solche 

 Kraft. Ferner bezeichnen ^, luid IT, ein mit ^ luid n symmetrisches Sy- 

 stem, neben diesen an dem Punkte 31 so angebracht, dafs die Richtung von 

 n, mit der von ^, und also die Piichtung von ^i, mit der von n congruirc. 



Da nun 31 unter ^/ und 11 im Gleichgewicht ist (Constr.), so wird 

 solches auch luiter ^, und 11, (Constr., Lehrs. 10.), imd daher auch unter 

 u4, n, ^^ und n, zusammen der Fall seyn. Da ferner die Richtung von ^, 

 mit der von n congruirt (Constr.), so werden, wenn man die Intensität von 

 y^ und y^^ lesp. mit a, und von 11 und 11, resp. mit tt bezeichnet, ^ und 11, 

 congruent seyn mit einer Kraft C von derselben gemeinschaftlichen Richtung 



