über das Gleichgewicht eines ßeien materiellen Punktes. 295 



b-^a\+a'[ -\-a"^-\-a" + \\. s. w. +d.-.+a'l +aZ + a"-\-Vi. s.w. 

 wo der numerische Werth von b die Intensität, vmd das algebraische Zeichen 



dieser Gröfse die Richtung bestimmt. 



10. 



Nach Erledigung des Falles von zwei Kräften, schreiten wir ziu* Er- 

 mittelung der Bedingungen des Gleichgewichts für den Fall von drei Klüf- 

 ten fort. 



Lehrs. 16. Ein System P von drei Kräften, A, B, C, kann an einem 

 freien materiellen Punkt J/ nicht im Gleicligewicht se^ai, wenn nicht 

 die Richtunecn der Kräfte sich in einerlei Ebene befinden. 



Beweis. Drei gerade Linien, von dem Punkte yl/ aus gezogen, mö- 

 gen die Richtungen jener drei Kräfte, und / den Werth des AVinkels dar- 

 stellen, den die Richtung von C mit der durch die von A und B gelegten 

 Ebene bildet. Q bezeichne ein mit P symmetrisches System von drei Kräften, 

 A\ B', C, neben diesem an M so angebracht, dafs A' und B' die entgegen 

 gesetzten Lagen von A tmd B erhalten. Wofern nun / nicht gleich Null ist, 

 wird die Lage A'on C auf zwei verschiedene Weisen gewählt werden können, 

 entweder dies- oder jenseits jener durch die Richtungen von A und B gelegten 

 Ebene: dergestalt, dafs der Winkel, zwischen den Richtungen von C tmd C 

 enthalten, im ersten Fall =: 180° — 2 /, imd im letzten = 180° seyn wird. 



Da nun M unter P im Gleichgewicht ist (Yorauss.), \md P und Q 

 symmetrisch sind (Constr.); so wird auch M unter Q (Lehrs. 1 1, «.) im 

 Gleichgewicht seyn. Da ferner A und A' , so wie B und B' , einander in 

 Bezug auf die Intensität gleich, und der Richtung nach entgegen gesetzt sind 

 (Constr., Erkl. i 1 .), so wird jedes Paar für sich (Lehrs. 15.), und also auch 

 M unter C und C gesondert (Lehrs. 11,/'.) im Gleichgewicht seyn. Dem 

 15"" Lehrsatze nach hat man also 180°— 2/= 180^, imd daher 1=0°. 



Zusatz und Erkl. 13. Hiernach können die Pxichtimgen von drei, 

 sich an einem freien materiellen Punkt M im Gleichgemcht befindenden 

 Ki-äften stets durch die Punkte auf der Peripherie eines, von dem Punkte 31 

 selbst, mit einem beliebigen Radius, in der Eigene der drei Richtungen, ge- 

 zogenen Kreises angegeben werden, in denen diese von dem Radius, die 

 Richtungen der Kräfte darstellend, geschnitten wird. Was die Bezeichnung 

 dieser Punkte selbst anbelangt, so kann solche mittelst der Gröfse der Bo- 



