über das Gleichgewicht eines freien materiellen Pimktes, 299 



der Länge A + r und von der Intensität k, wie auch unter einer Länge 

 — A die gleichbedeutende cwtt — A versteht. 

 Beweis. Zu dem Systeme P denke man sich erstlich ein System Q, 

 von dessen drei Kräften - . 



die Längen a, C4 + 4- tt, « + 7 j 



und die Intensitäten iJ.c cos p, fxc sin p, fxc, 



zweitens ein System Q', von dessen Kräften 



die Längen a + 4-Tr, a-t- tt, a + y -\- ~ ■:t , 



imd die Intensitäten ju'c cos/;, ju'csinyy, ju'c 



seien. Ferner denke man sich zu dem System P' ein System ^,,,, von des- 

 sen Ki'äften 



die Längen « + 7 — ~, « -f- y n- ^, « + v + v' — ~, 



und die Intensitäten (ii,c' cos /^', iJ.^c'smp', |J.^c' 



seien. Da sich M im Gleichgewicht befindet, sowohl unter P als P' (Vor- 

 auss.), so wird auch 31 im Gleichgewicht seyn unter Q, Q' und Q^^^ zusam- 

 men, und zwar unabhängig von ix, \j.' , xmd /^, (Lehrs. 10, 11, «., 12). Für 

 den besoüdern Fall nun, wo 



also 



ist, werden, wie man sich leicht überzeugt, die Kräfte, deren Längen «+y, 

 a+y — tt; wie auch a-{-y-{-4-ir, a-i-y 1-77, sind, paarweise, als einan- 

 der in Absicht auf die Intensität gleich, und der Richtung nach entgegen ge- 

 setzt, im Gleichgewicht seyn (Lehrs. 15.); mithin wird, nach Lehrs. 11, Z»., 

 das Gleichgewicht auch unter den fünf übrigen Kräften statt finden, 



deren Längen a, a-h~; a-j--^-, cc + ^tt; a-i-y+y' — tt, 



u. deren Intensitäten /!/c cosyP, ij/csinp; ixcsinp, \xccosp; ix^c' 



sind. Da sich nun die erste von diesen fünf Kräften substituiren läfst diu-ch 

 zwei andere Kräfte, ebenfalls von der Länge «, deren Intensitäten (ßccosp 

 — IJ.'c sin p) und fj-'c sin p sind (Lehrs. 3, Z».): von denen die letztere mit der 



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