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Lehrs. 21. Befindet sich ein System von drei Kräften, 



deren Längen 0, -^ t, y, 



und deren Intensitäten c cos ^, csinp, c, 



sind, an einem freien materiellen Punkt im Gleichgewicht: so ist für 



Beweis. Ist /> = 4-'''5 so ist c cos /?=.<? sin ^, und daher y entweder 

 -f TT oder -^TT (Lehrs. 17.). Wäre nun 7=4- t, so würde sich, in Folge 

 von Lehrs. 20., ?i = ^ setzend, auch ein System von drei Kräften im Gleich- 

 gewicht befinden, 



deren Längen 0, -^tt, 0, 



imd deren Intensitäten c cos -5- :r, c sin -^ tt, c, 



mithin in Folge von Lehrs. 3, l?., auch ein System von zwei Kräften, 



deren Längen 0, 4- ^, 



und deren Intensitäten c (1 +cos -f '^)> c sin -f ~ 



sind, was dem 15'" Lehrsatze widerstreitet. Daher mufs für p=i ^tt, y 

 = -f- TT seyn. 



Substituirt man diese Werthe für p und y in die Ausdrücke des 20"" 

 Lehrsatzes, und setzt ''^=(j, so ergiebt sich, dafs jedes System von drei 

 Kräften im Gleichgewicht seyn wii-d, 



deren Längen 0, 4-t, </ -t- t, 



und deren Intensitäten c cos tj, c sin «7, c 



sind, und zwar imabhängig von c und y. Bezeichnet man daher die Inten- 

 sitäten der drei Kräfte, von denen die beiden ersten einen Winkel =4-'i' 

 bilden, mit ß, Z», c, imd den Winkel, zwischen den Richtimgen der ersten 

 und dritten Kraft, von jener nach der zweiten in derselben Ebene herumge- 

 zählt, mit g+T^: so hat man 



ccos^ = fl, c sin g = b, 



zwei Gleichungen, ans denen sich, in Verbindung mit cos'y + sin"^ = l, 

 zur Bestimmung der Intensität und Richtung der dritten Kraft, mittelst der 

 beiden vorigen, die di-ei folgenden ergeben : 



