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und umgekehrt: finden diese Gleichungen statt, so sind die drei Kräfte 

 im Gleichgewicht. 

 Zusatz. Da den drei vorigen Gleichungen nach, cos"a+cos"/3 = l 

 ist, so lassen sich dieseD^en auch durch die drei folgenden vei'treten: 



cos a = '' cos /3 =: j cos "a + cos '/3 = 1. 



c c 



§.11. 



In Beziehung auf den Fall von vier Kräften läfst sich nunmehr folgen- 

 des Theorem mit Leichtigkeit darthun. 



Lehrs. 23. Befindet sich ein System von vier Kräften, A, B, C, D, von 

 denen die Richtimgen der drei ersten einander unter rechten Winkeln 

 seimeiden, an einem freien materiellen Punkte im Gleichgewicht: so 

 hat man, in sofern man die Werthe der Intensitäten, der Reihe nach, 

 mit a, b, c, A, imd die Werthe der kleinsten Winkel, zwischen der Rich- 

 tung der vierten Kraft imd denen der drei ersten enthalten, ehenfalls 

 der Reihe nach, mit a, ß, y bezeichnet, 



a n l> ' c 

 cos« = — , cosa:>=: — -T-, cos y = — ; 



A A A 



und tungekehrt: finden diese Gleichungen statt, so sind die vier Kräfte 



im Gleichgewicht. 

 Beweis. Bezeichnet iJ' eine Kraft, die^^undj^, und ii eine Kraft, 

 die R das Gleichgewicht hält, so hat man, indem man ihre Intensitäten, 

 der Reihe nach, mit /•' und /•, und die Werthe der kleinsten Winkel, zwi- 

 schen ihren Richtungen und denen von A und B enthalten, der Pveihe nach, 

 mit e', -fi; e, >i bezeichnet, als nolhwendige und zugleich hinreichende Be- 

 dingungen, 



cos"£'h-cos">]' = i (Lehrs. 22., Zus.); 



cos ■f\-=. — cos 'V (Lehrs. 15.). 



cos "£ + cos "11 = 1. (I). 



Da sich M im ursprünglichen Zustande substituiren läfst durch M' 

 unter R und R (Constr. und Lehrs. 7.), so wird sich M unter A imd B suIj- 

 stituiren lassen dui-ch M unter A, B, R und R Ferner, da sich M unter 



