über das Gle/chgcwichl eiiu'S freieii matei-icIIeJi Pimktes. 307 



Beweis. Es Ijezeiclmen a', /3/, 7^' die Werthe der Winkel, welche 

 die Richtung von Ki_,^ mit den drei Richtungen bildet, die jenen drei als ge- 

 geben betrachteten resp. entgegen gesetzt sind; und A^, -ö/, C^ dreiKräite 

 nach diesen neuen, oder ihnen entgegen gesetzten Richtungen. Damit nun 

 diese mit K, im Gleichgewicht seien, ist es, nach Lehrs. 23, Zus. nothwen- 

 dig und hinreichend, dafs man habe 



/ a/ n ■ h-' I c' 



cos a,z= — -p~ , cos /o, = — -^ , cos y, = — -^ , 



wo n[, Z-/, r/ die numerischeu Werthe der Intensitäten von ^/, 2?.', C. in ^ er- 

 bindung mit den, sich auf die Richtung beziehenden, algebraischen Zeichen 

 repräsentiren ; und es ist ferner, in Folge der Construction 



«/=- — «,, /3/=77 — /3, , 7,'=- — y, . 



Bezeichnen nun A,., B,, C, drei andere Kräfte, den Kräften ^/, B', C^', der 

 Reihe nach, in Absicht auf die Richtungen entgegengesetzt, und mit ihnen im 

 Gleichgewicht; so hat man, vermöge der Construction inid des 15"" Lehr- 

 satzes, indem man die Intensitäten derselben durch a^, b^, c^, und die Win- 

 kel, ziswchen iliren Richtungen und der von K, enthalten, durch a,", ß", 7,' 

 andeutet, ' o 7 ' 



" ' /O " _ O ' " ' - 



«.=- — «;, lö^ =- — lo., y^ = TT — y, , 



Verbindet man diese Gleichungen mit den vorigen, so kommt 



M «.- O // ^j // C:, 



cos a, = -p- , cos lo, = ---, cos 7 = -^ ; 



Auf eine, in dem Beweise des vorigen Lehrsatzes angewandte, Weise ergiebt 

 sich ferner, dafs sich M unter Ä'^ substituiren läfst durch M unter A., B,, C^, 

 für welche also dem Vorigen nach, die folgenden Gleichungen statt finden : 



a, = P, cos er , /', == P, cos ß, , c. = P, cos y, (I). 



Da dieses Resultat von ^ unabhängig ist, so folgt, dafs sich die {n — 1) ersten 

 Kräfte des Systems substituiren lassen durch drei Gi-ujipcn von Kräften, 

 resp. von den vorigen Formen, von a = 1 bis ^ ^ u — 1 einschlicfslich ge- 

 nommen. In Folge des Lehrs. 15, Zus., in Verbindung mit Lehrs. 23, Zus., 

 wird sich ferner die Gruppe von Ki-äflen 



yl, , A„, J^ , A,, . . . .-/,_,, 



