in den Dimensionen der Krjstallsysteme . 165 



drem, die wahren Elemente der Krystallbildung liegen, die Winkel aber 

 samt und sonders eine sekundäre Ahkuni't aus ihnen haben, als auch für das 

 Gegründete der Hofnung, die wir hegen, dafs es möglich sey, auch bei den 

 übrigen Systemen zu einer gleichen Strenge und Naturgemäfsheit ihres geo- 

 metrischen Gnmdbegriffes zu gelangen, wie sie dem Begrif dieses Systemes 

 selbst eigen ist. 



Was das erstere anlangt, so ist es völlig evident, dafs der Grundlage 

 dieses Systems, der Gleichheit dreier unter einander recht wink- 

 licher Dimensionen, das Gepi'äge der höchsten, unübertreff baren Ein- 

 fachlieit aufgedrückt ist; demnächst aber tritt auch die Art und Weise der 

 Abhängigkeit aller Winkel, die diesem Systeme zukommen, von sei- 

 nem Grundgesetz, an ihm auf die lehrreichste Weise ans Licht ; denn seine 

 Winkel erhalten ihren wahren strengen Ausdiiick überhaupt nicht durch 

 die Zahl der Grade, Minuten imd Sekunden, welche nur annäherungsweise, 

 und nicht mit geometrischer Scliärfe das auszusprechen vermögen, was sie 

 ausdrücken sollen, sondern lediglich durch den rein geometrischen 

 Ausdruck der sie spannenden Linien ; und es ist vollkommen evident, dafs 

 z. B. der Neigungswinkel der Flächen des regulären Octaeders nur der 

 ist, für dessen Hälfte sich verhält der Sinus zum Cosinus, wie 1^2 zu 1. 

 Drücken wir ihn aber in Zahlen der Grade, Minuten, Sekunden und Theile 

 der Sekunden aus, so ist es unmöglich, ihn jemals vollkommen richtig oder 

 geometrisch streng auf diesem Wege auszudrücken ; das Verhältnifs des IMafs- 

 stabes zu dem zu messenden ist ein irrationales. 



Aus der Gleichheit dreier unter einander rechtwinklicher Dimensio- 

 nen, als der einfachst denkbaren Grundlage eines Krystallbaues, folgt aber 

 zunächst, dafs in den Verhältnissen 1 : V2 : ^3 sich darstellt das Verhältnifs 

 jener drei Giimddimensionen zu den mittleren zwischen je zwei, und den 

 mittleren zwischen je di-ei derselben, und zwar beim Würfel in der obigen 

 angegebenen Folge 1 : )/2 : ]/3, beim regulären Octaeder in der umgekehrten 

 1 : V-^ : V-j- = -f • T^ • TT- Von diesen neuen Gröfsen sind aber wiederum 

 einige auch rechtwinklich auf einander , oder auf einer der drei ersten ; 

 nemlich auf jeder der drei Grunddiraensionen sind rechtwinklich zwei der 

 mittleren zwischen je zwei, und auf je drei der letzteren ist rechtwinklich 

 eine mittlere zwischen je drei. Daraus entsteht, dafs schon bei diesen ersten 

 Schritten der Entwickelung das reguläre System rechtwinkliche Linien 



