in den Dimensionen der Kiy Stallsysteme . 



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Dafs nun abei- in den Diagonalzonen der Flächen, welche umgekehrte 

 Lage haben gegen irgend eine Fläche der vertikalen Zone ('), die nemlichen 

 Winkel für je zwei bestimmte Flächen immer wiederkehren, oder durch ra- 

 tionelle VeiTielfachung der Sinusse gegen die Cosinusse die einen aus den 

 andern ableitbar sind, wird bewiesen seyn, wenn gezeigt wird, dafs der Co- 



efficient j: von b in der Fläche {na' — {n + 2) c') a'.x .b: {{:n-\-\) a^ — c") c 



einen rationalen Werth hat unter der gemachten Voraussetzung, dafs das 

 Yei'hältnifs von Sinus zu Cosinus für die Neigung der geschriebenen Fläche 

 in ihrer Diagonalzone gleich sey dem irgend einer Fläche aus der Diagonal- 

 zone von Vna'.c'.oztb . Es sey eine solche Fläche na'.yb'.c , so ist ihre 



Neigung in ihrer Diagonalzone ausgedrückt durch 



sm ; cos -^ jb \ =— 



Die Gleichung heifst also 



• _ ac{na- — {n-h2)c-) ((2n -Hl) g- -c-) _ . , . 



cc t o ^ , —— y » o t j — 



y {na- — (n-^2) c'^y a^ -^ {(2ri-hi) a^ — c-y- c- 



\ n'- a'- 



SO ist X := 



y(na- — (n-h2)c-) ((2n-i-l) a' — c") }/ n^ a" -t- c" 

 M V(n«- — («-t-2j f-)- a- -h ({2n-i- l) a- — c-y c" 



und es bleibt zu zeigen, dafs dies jc eine rationale Gröfse ist. 



Aber der unter dem Wurzelzeichen begiiffene Factor des Divisors ist 



^ \ (na^ — nc" — 2c")" a" + {2nn' + a' — c')' c' 

 = Vn^a^-i-c^'-h n"a'^ c" -i-c' a^ ■+■ 2 n' c^ a^ + 2 a'^ c" 



:= \\n'' a' -h c") (rt" + c" -+- 2a- c') = {o 



=)l«^ 



Also X = r("«^-('?H-2)cO((2/i + l)a'-c^) 



n (a.- -f- c") 



woraus einleuchtet, dafs x eine rationelle Gröfse ist, wenn es a' xuid c" sind, 

 wie dies der Fall ist, wenn a'.c im Verhältnifs von Wurzelgröfsen zu einan- 

 der sind; die gegebenen j und « sind jederzeit rationell. 



(') Es leuchtet von selbst ein, dafs das Analoge von jeder Zone gilt, deren Axe parallel 

 ist einer der di-ei Grunddiniensionen. 



