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wodurch der Coordinaten -Anfang in den Scheitel der Cui-ve verlegt wird. 

 Dann ist 2 ß der Parameter derselben. 



Sei nun in (Fig. 1.) die erzeugende ADB eine Parabel, deren Para- 

 meter = 2 /3 ; die Haupt -Axe derselben falle in ^C und ihr Scheitel in A, 

 so giebt die allgemeine Gleichung in (5, 2) für das Paraboloid, weil 



GD- = 2ß .JG. 



(1) {a + UQOS. (py -\- f = 2ß (Ji — zfsin. (p). 



Dies entwickelt und nach den Potenzen von 11 geordnet, wird 



,^^ „ „ { ß COS. dl -f- ,ö sin. <J> "I - 

 (2) r = — COS,. ct>- lu + ^- -^ —\ 



^ ' I COS. if^ J 



o 7 o { a COS. (/> -t- /3 sin. <f>\^ 

 ,' +2ßh —a- +\ '-) ' 



\^ COS. ip I 



Hier ist die Charakteristik k^ cos. (p'^ eine absolut positive Gröfse 

 zwischen (p = imd (p = 90°. Jeder Schnitt des Paraboloids mit einer gegen 

 dessen Axe schräge geneigten Ebene giebt eine Ellipse. Wird (p = o, so wird 

 der Schnitt offenbar ein Kreis (*). Für (p = 90° aber wird die Gleichug (1). 



(3) a' + t" =z zß h — 2ßu. 



. =2ß.AG ...., : ;,:; .- 



welche Gleichung identisch ist mit der der erzeugenden Parabel. 



Da alle Schnitte des Paraboloids zwischen den Neigungen f =zo imd 

 (p =z 90'^ der schneidenden Ebene Ellipsen sein müssen, so wei-den sie, gehö- 

 rig vei-längert, die entgegengesetzte Seite des Mantels treffen. 



Sei mm in Fig. 2. d, EB der Durchschnitt der Ebene eines ellipti- 

 schen Schnittes. Er stehe senkrecht auf einer durch die Axe All des Para- 

 boloids schneidenden Ebene BAE, imd werde in E und B von der Ober- 

 fläche des Paraboloids begrenzt. 



Hiernach wird das a in der Formel, = BH, negativ, wenn BH aus 

 B senkrecht auf die Axe AC gefället ist. Es ist aber h^zAH; daher 

 2ßh — a" ■:=-0. 



(*) Die Gleichung für denseljjen ist: 



(4) ^2 = _(,, + a)=H- 2/3. Ä, 



woraus sich ergiebt, dafs der Halbmesser dieses Kreises die mittlere Proportionale ist 

 zwisehen der Hölie der erzeugenden und dem Parameter derselben. 



