von Konoiden- ScJmitlen. 113 



Dadurcli wird die Formel (2) . . 



„ n( a COS. (p — ,3 sin. (J' 1 ' f « cos- <^ — ö sin. d> "| - 

 f- = — COS. d>--^ii ' -} + i ' -> ' 



' ^ COS. '/' J I. COS. J 



Setzen wir nun 



so ist die Gleicliung 



a cos. f^ — jß sin. * , 



U — - — ■ = IC 



COS. (/' 



(5) t-+ COS. (p- u' = (a — ß tg. cpy 



woraus die beiden Haupt -jVsen der Ellipse sich ergeben. 



2 (« — ß tg. (p) , parallel den t ; 

 :^ ~ — 51i!L parallel den i^. 



cos. (/) ' -T 



Nun aber ist i?£' die gröfsere Haupt -Axe der Ellipse, 



__ 2(a-gtg.^) , 



COS. (p 



also die kleinere 



= BE cos. <p 



daher, -wenn wir aus dem Endpunkte E auf .5^ eine senkrechte fällen, die 

 Entfernung des Punktes D von dem Einschnitte dieser senkrechten in BJI 

 die kleinere Haupt -Axe des elliptischen Schnittes ist. 



Vergleichen wir nun mit dem obigen die von Archimedes vorgetrage- 

 nen Lehrsätze : 



Satz 12, 1. ,,Wenn ein parabolisches Konoid von einer Ebene durch die 

 ,,Axe, oder parallel mit dei'selben, geschnitten wird, so wird der 

 ,, Schnitt eine Parabel sein, und zwar dieselbe, imter welcher der Kör- 

 ,, per enthalten ist." - , , . 



(Der Beweis liegt oben in (3).) 

 ,,Ihr Durchmesser wird der Durchschnitt der schneidenden Ebene 

 ,, selbst mit einer Ebene sein, welche senkrecht zu ihr durch die i\xe 

 „gelegt ist." 



(Dies crgiebt sich diu'ch die Constniction unmittelbar.) 

 ,,Wenn dagegen die schneidende Ebene senkrecht zu der Axe geführt 

 ,,ist, so wird der Schnitt ein Kreis sein, dessen IMittelpunkt in der 

 ,,Axe liegt." 



(Es erhellet dieses aus der Gleichung (4) oben.) 

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