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Die oben angefülirten Eigenschaften des Paraboloids setzt Archime- 

 des, ohne Beweisführung, als bekannt voraus. Er selbst fügt folgenden 

 Satz hinzu, den er geometrisch beweist: 



Satz 13. ,,Wenn ein parabolisches Konoid von einer Ebene geschnitten 

 jjWird, die weder durch die Axe geht, noch parallel derselben, noch 

 ,, senkrecht zu ihr ist, so wird der Schnitt eine Ellipse, und deren 

 j,grofse Axe diejenige Sehne des Konoids sein, in welcher die denKör- 

 ,,per schneidende Ebene selbst und eine senkrecht zu ihr durch die 

 ,,Ax;e des Konoids gelegte sich diuxhschneiden ; die kleine Axe aber 

 ,,wird gleich sein der Entfernung derjenigen geraden Linien, welche 

 ,,man aus den Endpunkten der grofsen Axe parallel der Axe des Ko- 

 jjuoids zieht." 

 Und der Beweis dieses Satzes, den Archimedes geometrisch führt, 

 ergiebt sich anal^*tisch aus dem vorhin aus der Gleichung (5) hergeleiteten. 



Allgemeine Übersicht der Oberflächen zweiter Ordnung, 



zu welchen die Konoiden und Sphäroiden des 



Archimedes gehören. 



1. Die allgemeine Form für Oberflächen zweiter Ordnung ist 

 (1) ±Jx-±By'± Cz-=:±D 



Es werden rechtwinklige Coordinaten: x, y, z, voratis gesetzt; ihr 

 Anfang ist für tÜe dadurch bestimmte Oberfläche ein JMiltelpunkt. 



Diese Form begreift sechzehn vei'schiedene Fälle unter sich, wie sie 

 aus den verschiedenen möglichen Combinationen der Vorzeichen sich erge- 

 ben. Darunter ist 



' ■' (2) Ja:'^JBj^-^Cz"- = — D 



welches keine Oberfläche giebt, sondern nxu- einen körperlichen Funkt. Die 

 übrigen lassen sich auf folgende di'ei wirklich von einander verschiedene, 

 reale, ziu-ückführen : . . ,, , i ,,; ■. 



., u ,., (3) a) Jx- + Bf+Cz- = D ti. 



b) jjc-+ Bj-— Cz- = D .!. : 



c) Ax"- + By— Cz- = — D 



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