von Konoiden - Schnitten. 117 



giebt sowohl für a;^o als^^o parabolische Schnitte in der Richtung der 

 Coordinaten-Ebenen Aer jz und der o-r; imd für ;;=:;;' elliptische Schnitte 

 in der Richtung der Coordinaten- Ebene der xy-, 



Ihre nähere Betrachtung zeigt, dafs die ihr angehörige Oberfläche, 

 eine elliptisch parabolische Schale darstellt welche sich nach der Richtung 

 der negativen z hin ins Unendliche erweitert nach der entgegengesetzten 

 aber in einem Scheitelpunkte endigt. Sie fühlt daher den Namen eines 

 elliptischen Paraboloids. Fig. 5. 



7. Die zweite der Gleichungen in (5) 



Ax' — Bj' — Cv=io 



giebt sowohl für x =0 als j- = o parabolische Schnitte in der Richtung 

 der Coordinaten -Ebenen der js und der xz , imd für z=zz' hyperbolische 

 Schnitte in der Richtung der Coordinaten -Ebene der xy. 



Die nähere Betrachtung dieser Gleichung zeigt, dafs die ihr angehö- 

 rige Oberfläche eine hyperbolisch parabolische Röhre darstellt, welche aus 

 zweien zusammentreffenden, sich in entgegengesetzter Richtung ins Unend- 

 liche erweiternden Stücken besteht. Sie fiüirt daher den Namen eines hy- 

 perbolischen Paraboloids. Fig. 6. 



8. Die fünf von (1) bis (7) aufgeführten Oberflächen sind die der einzig 

 möglichen regelmäfsigen Körper zweiter Ordmmg, wovon die zwei letzten 

 des Älittclpunktes entbehren, als parabolischer Natur, wie die drei ersten 

 einen IMittelpiinkt haben , als elliptischer luid hyperbolischer Natur. Der 

 Kürze wegen wird eine umständlichere Erörterung der Eigenschaften dieser 

 Körper hier übergangen, um so mehr, als die aufgestellten Formen der ih- 

 nen entspi-echenden Gleichungen, bezogen auf die angefügten Figuren, voll- 

 kommen hinzvireichen scheinen, um überall davon deutliche Vorstellungen 

 zu gewähren. Zu imserem Zweck aber, der Vergleichung der Theorie des 

 Archimedes mit der neueren Analysis , wird erfoderlich sein, eine allgemein 

 giltige Gleichung für den Schnitt irgend eines der obigen Körper mit einer 

 Ebene, nach jeder beliebigen Richtung aufzustellen. 



Zu dem Ende nehmen wir in Fig. 7. an: C sei der Anfang des Cooi'- 

 dinaten - Systems der auf einander rechtwinkligen x, j, z; I sei ein darauf 

 bezogener Punkt; durch denselben eine neue Coordinaten -Ebene gelegt, 

 welche die der xy in H, F, und die Axq der x in F schneide. Sei F der 



