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die Gleicliung sein für eine solche Röhre, wenn sie durch Umwälznng einer 

 Hyperbel um eine in ihrer Ebene durch den Mittelpunkt auf der realen 

 Haupt -Axe senkrechten geraden Linie entstanden ist. Die der Ebene der 

 xj (in welcher nach der Voraussetzung die Umwälzung geschieht) parallelen 

 Schnitte sind dann nicht Ellipsen, wie in (3), sondern Kreise. 



Der Körper von einer solchen Oberfläche befindet sich nicht unter 

 den von Archimedes imtersuchten Konoiden. Er ist von ihm nicht be- 

 ti'achtet, weil es offenbar an aller Analogie zwischen ihm und einem Ele- 

 mentar-Kegel, namentlich an einem Scheitel, mangelt. : , 



Für ihn whd in der allgemeinen Gleichung 



B' = COS. cp" — tg. w" sin. ^" ; 

 also 



k = cos. (f)" — tg. w" sin. (J>", 



mithin lassen sich durch den Schnitt einer Ebene mit einer solchen Röhre 

 alle die drei Arten von Kegelschnitten bilden. 



Setzen wir j = o , so geht der Schnitt durch den Mittelpunkt und 

 seine Gleichung ist 



2x222 



X — tg. w i = a . 



Hier ist aber y der Faktor der imaginären halben Axe imd ß die hallje 



reale Axe der Erzeugenden : daher 90° — u der halbe Winkel der Asymptoten. 



1 1 . Das von Archimedes wirklich betrachtete Hyjierboloid ist das in (4) 



unter dem Namen: elliptisch hyperbolische Doppelschale auf- 



gcfi'üirte. 



Die Gleichimg in (10) verwandelt sich sofort in die des letzteren, 

 wenn wir das constante Glied negativ setzen 



7- {x- +J-) — h z' = — Idi 7 . 



Hiedurch bleibt k iingeändert, wie in (10) 



/c = COS. (f)' — tg. w" sin. ^''. 



Wird der Schnitt parallel der Axe der Umdrehung (der z) geführt, 



also (p = 90°, so wird 



^ = — tg. w-, 



mithin der Schnitt eine Hyperbel ; und alle nach derselben Richtung geführ- 

 ten Schnitte einander ähnlich. 



