Fuchs: Über das Vorzeichen gewisser bestimmter Integrale. 1) 



4. 



Für beliebige reale Functionen u, welche nebst ihren n — i ersten 

 Ableitungen für x^o verschwinden und in der Nähe von x-=o sich 

 regulär verhalten, ist Q{u) für positive von der Null hinlänglich wenig- 

 verschiedene Werthe von x ebenfalls regulär. 



Wir beweisen in der oben bezeichneten Arbeit den Satz: 



I. Die quadratische Form 



(/i- = o , .... n — I ; 1=0, .... n — I ) 



ist für positive in der Nähe von x = o gelegene Werthe 

 von X definit und jjositiv. 



Die Form (p behält also diese Eigenscliaft, bis x zum ersten Male 

 die Gleichung 



(2.) \A,,\ = o 



erfüllt. 



Die Function Q(w), welche bei den gemachten Annahmen in der 

 Nähe des siugulären Punktes x ^ o der Diliferentialgleichung 



(3-) Q(y) = o 



endlich und stetig ist, verliert diese Eigenschaft, wenn x sich dem 

 nächsten singulären Punkte der Gleichung (3.) annähert. 



Bezeichnen wir den nächsten positiven singulären Punkt mit x, 

 während B die kleinste positive Wurzel der Gleichung (2.) darstellt, 

 so ergiebt sich, wenn wir c„„ als positiv voraussetzen und die über 

 die Functionen u getroflene Vereinbarung festhalten, nach der aus 

 der Gleichung (11.) Nr. 3 iliessenden Gleichung 



(4.) iF(ii, u', . . . , 'u^"'')dx = (/)(^<, u' M<"~'') + c„AQ(uydx 



der Satz : 



II. Bedeutet u eine beliebige Function, welche nebst 

 ihren n — i ersten Ableitungen für x^o verschwindet und 

 in der Nähe von .r = o sich regulär verhält, so ist das In- 

 tegral 



iF{u, u', . . ., u^"'>)dx 



für positiA'e zwischen o und b gelegene Werthe von x positiv, 

 wenn h die kleinere der beiden Grössen oc und /S darstellt, 

 und wenn c„„ positiv vorausgesetzt wird. 



