6 Sitzung der physikaliscli -mathematischen Classe vom 9. Januar. 



Der Ausdruck q, ist immer eine reale Function von x. Haben 

 nämlich c^o, c„ gleiche Vorzeichen, so ist r real, sind die Vorzeichen 

 von G^, c„ entgegengesetzt, so ist r rein imaginär r = pi und es ist 

 q, = — p cotg px. 



Für Functionen u, welche sich in der Nähe von x := o regulär 

 verhalten und für x = o verschwinden, ist Q(u) ebenfalls in der Nähe 

 von x = o regulär. Dasselbe gilt von dem Ausdrucke (c^, — c,,q^)v\ 

 welcher für ar = o den ^^'erth Null annimmt. 



Aus (4.) ergiebt sich 



(6.) iJF{u,t(')dx = (c„, — c„9,)m'-i-c„[Q(;/)=c?x\ 



Wir nehmen jetzt an, das r„ positiv sei. Da q, nach Gleichung 

 {5.) für hinlänglich kleine positive Werthe von x einen negativen Werth 

 erhält, so ist für dieselben Werthe von x c^, — c.^q, positiv, und dieser 

 Ausdruck behält das positive Vorzeichen bis 



(7-) Coi — Ct<?i = o 



wird. 



Ist X =■ u der kleinste positive Werth für welchen q, unendlich 

 Avird, /8 die kleinste positive Wurzel der Gleichung (7.), und bezeichnen 

 wir mit b die kleinere der beiden Grössen cc vmd ß, so ergiebt sich dem- 

 nach, dass für eine beliebige Function u, Avelche für x=:0 ver- 

 schwindet und in der Nähe von .i- = o sich regulär verhält, 

 die linke Seite der Gleichung (6.) positiv bleibt, solange x dem 

 Intervalle o bis b angehört. 



3. 



Für ■n>i würde das LegendrescIic Verfahren die Integration eines 

 complicirten .Systems von Differentialgleichungen erfordern , dessen Dis- 

 cussion in Bezug auf Realität und Stetigkeit der Lösungen sehr mühsam 

 wäre. Es ist daher die Bestimmung von Q{u) nach einem Verfahren 

 vorzuziehen, welches dem von Jacobi' für die Discussion der zweiten 

 Variation gelehrten analog ist. Wir gehen zu diesem Zwecke von 

 der Differentialgleichung 



(I-) IT 



(/: = o , . . . , n ; l = o , . . . ,n) 



aus. 



Da 



(2.) c^., = Cl,,. 



Crelle"s Journal Bd. 17. 



