120 



Über einen Satz aus der Theorie der vertausch- 

 baren Matrizen. 



\'()ii .1. Schur. 



(Vorgelegt von Hrn. Frobenius. 



Lli: Frobenius hat in seiner Arbeit »Über vertnuschbare 3Iatrizen« 

 (Sitzungsberichte 1896) folgenden Satz bewiesen: 



»Ist /(x, ?/ . w . ■ • ■) eine beliebige (ganze rationale) Function der 

 w« Variabein x,y,z,--, sind A,B,C,- m Formen, von denen je 

 zwei vertauschbar sind , und sind a^, a^, a^, ■■ ■ (resp. h^ , b^ , b^ , ■ ■ ■ : 

 Ci . c„ , C3 , • • •) die Wurzeln der charakteristisclien Gleichung von A 

 (res]). _B, C, •■ •), so lassen diese Wurzeln sich einander, und zwar 

 unabhängig von der Wahl von /. so zuordnen , dass die Wurzeln der 

 charakteristischen Gleichung der Form /(A , i5 . C, ■ • ■) den Grössen 

 /(«i . i, , Ci , • . • ) , /(ßj ,b^,c,, ■■■), f{u^ ,b^,c.,,...), ... gleich werden. « 



Für diesen Satz soll im Folgenden ein einfacher Beweis abge- 

 leitet werden, der von einer Zerlegung der Formen A,B, C, ■ ■ keiner- 

 lei Gebrauch macht. 



Es seien 



tp (»■) = n (r - a,) . 4, (;•) = A (r - b,) , x ('•) = !!(»•- c.) , • • • 



1 = 1 ; = 1 1 = 1 



die charakteristischen Functionen der Formen A. resp. B,C,--. 

 Ich betrachte das Product 



(I.) ^ n \f{x,y,z.---)-/(a^,b,,c..,---)\, 



wo die Indices ZjX, jx, ■ ■ ■ unal)hängig von einander die Werthe 1.2, ■ ■■ n 

 durchlaufen. 



Der Factor /(.r , y , : , ■ ■ ■)-f{a^ ■ b, , c,^, ■■ ■) dieses Productes ist gleich 



\f{x ,b,,c,,,-- ■)-f{a^ ,/,,,,..,.. .)S + \f{x , y, c , • • •)-./•(.'• , K , c-„ . • • ■)\ , 

 also gleich 



wo <J„,x.u.--- chie ganze rationale Function von x bedeutet. 



