J. Sciiui!: Über einen Satz aus der Tlieorie der vertausclibaren Matrizen. 121 

 Dalier lässt sicli das Theilproduot 



ri !/(^,.y.~-,---)-/K,^>.,6-„....)l 



X = 1 



von (I.) auf die Form 



ih...... 9 W + !>>....- !/(•» ,!/, = ,■■ ■)-fV- < ^x , 6v ,-■•)! 



bringen, wo A,..„,... = fl (/^.^.„ ... y.u setzen ist, und A'.„ .... eine ge- 

 wisse ganze rationale Function von x,y,z, ■■■ bedeutet. Durch weitere 

 Ausführung der Multiplieation erhält man für (i.) einen Ausdruck der 

 Form 



A" 9 (.r) + K' n \ f{x , y , c, • ■ • ) -f{x , /,>, , c„ . • • • ) | 



X.u. • ■ ■ 



(K- = n // ) 



und, indem man auf das im zweiten Gliede stehende Product die ana- 

 lo.gen Schlüsse anwendet, zuletzt die dlleichung 



(2.)^ ^n !/(:>:,//, c, ...)-/(„,, i,,c„,..-)j = k'^,{.v) + L^i>/) + ^fx{z)+■■■■. 



liierin bedeuten K.L.M,- ■ gewisse Functionen der Variabein x,y,z, ■■■. 

 Ersetzt man, was weg'en der Vertauschbarkeit der Matrizen 

 A,B,C, ■■■ gestattet ist, in (2.) die Variabein x,i/,z, ■■■ durch A, 

 bez. B.C.-. so ergibt sich, weil bekanntlich 



(3.) 9(^-1) = 0, d.(ß) = 0, x('') = 0, ••• 



ist, die Gleichung 



ri \f{A ,B,(\- ■)-f(a^ , l), ,c.^,---)E\ =0. 



Wir sehen also, dass die Form /{A, B,C , ■■■) die Gleichung 



befriedigt. Ist daher *(/•) = die Gleichung niedrigsten Grades, der 

 diese Form genügt, so muss *(r) ein Divisor von F(r) sein und fol.s'- 

 lich die Gestalt 



■l'(r) = n \r-f{o.,b,,c., ■■■){ 

 1 = 1 



besitzen, wo p den Grad der Function *(r) bedeutet. Hieraus folgt 

 aber nach einem bekannten Satze 



(4.) \rE-f(A,B,C,---)\ = n |,. -/(«,, Ä,, .,,.■•)!"'. 



I = 1 



wol)ei n^,a„,---)i^ gewisse positive ganze Zahlen sind. 



Daher hat jede Wurzel der chai'akteristisclien Gleiclmng der Ma- 

 trix f(A,B, €,-■■) die Form /(«, , 6, , c, ,■■■). 



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