122 Sitzung dei- physikalisch -matheiiiatischen f'lasse vom 13. Fel)ruar. 



Dass nun die Zuordnunq' der Wurzeln <(■ , b, . c- . ■ ■ ■ für jede Func- 

 tion / dieselbe ist, sieht man folgendermassen ein. 



Mit Hülfe der Gleichung-en (i.) lässt sich jede Function von A. 

 B, C , ■a.h Summe 



Xa;„.,.,u.:A''B'C''-- - (i<,X,u,.-.. =0.1. 2, •■■,«-!) 



darstellen, wo die «'" Grössen x^>„... Constanten bedeuten. Man erhält 

 den allgemeinsten Ausdruck für eine Function der Matrizen A.B.C- . 

 indem man diese »'" Grössen als unabhängige Variabele ansieht. Die 

 dieser Form entsprechende Gleichung (4.) wird aber eine in den Va- 

 riabein Ä'^.x.,,,... identisclie rationale Gleichung und bleibt demnach für 

 jede specielle Wahl dieser Variabein bestehen. 



Setzt man s\)ecie\\ f(A . B.C, ■■■) = A, so geht (4.) über in 



|r£'-.4| = n (r-a,)"': 



daher stellen die Wurzeln a^,a„,--a^, die /'"Wurzel w.mal gezählt, 

 die sämmtlichen n Wurzeln der charakteristischen Gleichung von A 

 dar. Dasselbe gilt für die Wurzeln h^.b^, •■■h^ in Bezug auf B u. s. av. 

 Den Grundgedanken des hier durchgeführten Beweises habe ich 

 bereits vor längerer Zeit Hrn. Prof. Fkobenius mitgetlieilt, dessen Rath- 

 schlägen ich die Fassung des Beweises in der vorliegenden Form ver- 

 danke. 



Aus dem Vorhergehenden ergibt sich, dass die Gleichung nie- 

 drigsten Grades , der die lineare Function xA + yB + zC + ■■• mit un- 

 bestimmten Coeflicienten genügt, die Gestalt 



(I.) n\xA+;/B + zC+ {mi + i/bi + zc. + ■■)£[ — () 



besitzt. Es soll nun gezeigt werden, dass auch für jede lielieliige 

 Function /" die Gleichung 



fi;/(.4, B,r. ■■■)-f{a,,b,,c,,---)E\ = 



besteht. 



Setzt man A-a,E = A,, B-b,E = B,, C-c,E = C,, •••, so geht 

 (I.) über in 



(2 .) n {xA. + yB. + .-C, + •••) = 0. 



Icli will beweisen, dass die Gleichung (2.) die allgemeinere Glei- 

 chung 



(3.) h{.c.A.-ty^B.+z.C, + '--)=^() 



