.F. Schur: Über einen Satz aus der Theorie der vertaiisclibaren iMatri/.en. 12H 



iijich sich zieht, wo die mr Grössen .r,, ^,, 2:,, • • ■ unabhängige Vjirinble 

 bedeuten: oder anders ausgedräekt : aus (2.) tolüt, dass jedes aus 

 /■ Factoren bestellende Product 



(4-1 --1„,^„, •••ßß.ß:, ••• t^.fU-.- 



den Wcrth Null hat. sobald die r Indiees ci^.a.„. ■■■,B^,ß.,, ■•,7,, 7«, •••, 

 abgesehen von der Reihenfolge, den Zahlen l,2,--r gleich sind. 



Es möge (2.), wenn in dem linker Hand stehenden Producte 

 die einander gleichen Factoren zu je einer Potenz vereinigt werden, 

 übergehen in 



( 2 '.) 11 (xA; + !/B. + :('-+...) '■' = 0. 



(■ = i 



Es genügt, zu zeigen, dass sich aus (2'.) die Gleichung 



(. 3 '. ) n i-viAi + //,- Bi + z, (■,+ •••) '•' = 



1=1 



ergibt. Denn in der That lässt sich jedes Product (4.) in der Form 



(5-) --l^ß^t■"' ■■■ .i^B^'Ci' ■■■ 



schreiben. Avobei die Exponenten K,,A-,a-, ■■■ den Bedingungen 



Z, + Xl + f^l + ••■ = /■,, X» + >-2 + f^2 + •• ■ = '••>, ••• 



ZU ii'enüncu haben. Das Verschwinden dieser Producte ist aber eine 

 Folne (h'r Gleicinuig (3'.). 



Ferner kann ich ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraus- 

 setzen, dass die .s- Wurzeln o, , ß, , ••• a, alle unter einander verschieden 

 sind. Denn es sei für diesen Fall unsere Behauptung bewiesen. Da 

 keine der Grössen 



.r(«,-a,)+y(i-,-c-,)+r(c,-c,)+--- (x,>. = l ,2. ... .. -.-^X) 



für alle Werthe von x.y,:, ■■■ verschwinden soll, lassen sich gewisse 

 Constanten p.q, ■■■ derart liestimmen, dass die .s Grössen 



a'i = n, + pb, + (/£,+ ■■■ (( = 1,2,... s) 



alle unter einander verscliieden werden. Ersetzt man -l diu'ch die Matrix 



A' :^ A+pB + qC+ •••, 

 so besteht, wenn A'~(i'iE=:A'; gesetzt wird, die Gleichung 



n {.vA ; + i/B. + : Q +•■•)'■'= II \xA, + (y +px) ß; + {: + qx) (7, + • . . J '"' =^ 0. 

 /■ = 1 ; = 1 



Alis dieser Gleichung' folgt nun nacji un.serer Annalnne das Ver- 

 schwinden von 



n (x,.4;+y,ß, + c,6' + •■•)'■■■= n j^, . 4,- + (,y, + /;.i-,)ß,-f-(r,- + y.r,)C,4- •••;'■'; 



