124 Sitzung der physikalisch- mathematischen Classe vom 13. Februar. 



daraus ergiebt sich aber auch die Richtigkeit von (3'.). denn die Grössen 



Xi , y, + pxi , Zi + qxi , ■■■ 

 stellen zugleich mit .r, , _?y, , 2, , • •• ein System von ins unabhängigen 

 Variabein dar. 



Es seien also die .s Wurzeln a^, (/„,■■■ a, alle unter einander ver- 

 schieden. Ist speciell in (5.) ■/., + ■/.„+■■■= r, mithin A, = i) , ij.- = , ■ ■ ., 

 so wird das Product (5.) gleich dem Coefficienten von af in der Ent- 

 wickclung der linken Seite der Gleichung (2'.) nach Potenzen von 

 .r.y.c, ■■•. also gleich Null. 



Ich kann daher annehmen, das Versclnvinden der Producte (5.) 

 stehe bereits fest für alle Werthc der Exponenten Ä, . u, . ■■ ■ , sol)ald 

 i,x, grt)sser ist als eine gegebene ganze Zahl k. Ich brauche dann 

 nur zu zeigen, dass das Product (5.), das ich mit P bezeichnen will. 

 auch dann verschwindet, wenn "Xy-i = k ist. 



Sind in P für ein i nicht alle Exponenten Ä,, |U,, ■•■ gleich NulL 

 so muss 



(6.) A;P = 



sein. Denn ist etwa Ä,>ü, so ist der zu 5, complementäre Factor 

 von A;P gleich Al'B";' -..A^-'Bt;'--- Ä^'^'B^'' ''■■■■ also gleich XuIL 

 weil in diesem Producte die Summe der Exjionenten von A,,ä„--- 

 gleich k + 1 ist. 



Daraus schliesst man sofort, dass P= ist, sobald unter den 

 Exponenten ?^^,X,, ■ ■■ ,iJ.i,fj.,.-- zwei nicht Null und mit von einander 

 A-erschiedenen Indices c und er versehen sind. Denn es ist dann Avegen (6.) 

 (.lj-^,)P= (a,-a,)P= 



mid mithin, weil a^ + a^ ist, auch P = 0. 



]Man hat daher nur noch das Versclnvinden der Producte 



p, = a['a:^- ■ ■ ■ .4[iT'4'ß^f ■" ■ ■ ■ '^''M' ■ • ■ 



für alle AVerthe von x^, A, f^. ■ • ■ zu beweisen, die den Bedingungen 



(7.) K, :=k-(r,+ ---r,^, + , -,+,+ ■■■) = r,-(X + fx+-- ■)■>() 



genügen. — Indem man die mit j^'y^z"' ■■ ■ multiplicirte Matrix in der 

 Ent Wickelung der linken Seite von (2'.) gleich Null setzt, erhält man 

 unter Fortlassung der Producte, deren VerseliAvinden bereits feststeht, 

 die Gleichung 



(8.) y^lP,+i^2P2+--- = 0, 



wo die Coefficienten Pi,p«--- gewisse ganze Zahlen bedeuten, die 



auch Nidl sein können. Sind aber fiir irgend ein c die Bedingungen (7.) 



7-! 



erfüllt . so ist p. = ~~ — -^— > 0. 



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