J. Schur: Über einen .Satz aus der Theorie der vertauscliljaien Matrizen. 125 



Multiplicirt man beide Seiten der Gleicliuns- (8.) mit ^, •••^1,., 

 A^^i'-Ä^, so erhält man weti'en (6.) 



(9-> -4, ••■^,_.yl,+, ... A- Pe= 0. 



Um .sich nun von dem Verschwinden des Pro(hictes P^ zu überzeuf'en, 

 genullt es. dasselbe mit der niclit versehwindenden Constante 



(ff; - «l) • • • (ff; - a.-l) (O. - ff. + l) •••(«;- ff„) 



oder, was dasselbe ist. mit der Matrix 



zu multiplieiren. Denn e.s ist 



B = A,-- A_i^1,+, •■ .4, + A,R', 



wo R eine Function von ^4 ist. Daher ist vermöge der Gleichun- 

 gen (6.) und (9.) RP^ = und also auch P^ = . 



Damit ist bewiesen, dass die Producte (5.) alle den Wertli Null 

 haben. Diess ist aber der Inhalt der zu beweisenden Gleichung (3). 



Diese Gleichung bleibt bestehen, wenn man die Variabein x,,y,, 

 z,, ■■• durch beliebige, mit A, B , C, ■ ■ vertauschbare Matrizen ersetzt. 



Es sei nun f{x,y,:, ■■■) eine beliebige ganze rationale Function 

 von X , y . z . ■ ■■ : dann ist 



/(,i-,.y,-,---)-/(«„6„6-,, •••)= \f{x,b,,c;,---)-f{a,,h:,c,,---)\ 



+ \f{x,y,C;,---)-f(x,b„c.,--.)\ + \f(x,y,z,.-.)-f{x,y,c.,---)\ + ••■: 



der erste Summand der rechts stehenden Summe ist aber durch a-w, 

 tlieilbar, der zweite Summand durch y — h-, der dritte durch r-r,, u. s.w. 

 Demnach lä.sst sich die Differenz /(y4, 5. C. •■ ^-/"(ö, - ''',,'",,■■ -l-ß" in 

 der Form 



X,Ai+YiB, + ZiCi+ ■•■ 



darstellen, wo X-.Y,,Z,,-- ganze rationale Fvmctionen von A.B ,C. ■■ 

 und also mit A.B.C,-- vertauschbar sind. Daher ist. wie zu be- 

 weisen war, 



ri \f{A ,B,C,--) -f{ü, ,b.,c,,--]E\ = 0. 



