28b Sitzung der phys.-niath. Classe v. 13. Älärz. — Mittheilung v. 27. Febr. 



Indem man die Deformationen verfolgt, die die Schnitte /,,.../. bei 

 solchen geschlossenen Umläufen der a^,...a. erleiden, findet man: 



1. wenn o, einen Umlauf vollzielit, der den Schnitt l^ einmal im 

 positiven Sinne überschreitet, so treten an die Stelle der ^1, , . . . A^ die 

 Substitutionen 



(I.) X=AA^r- (x=,.2,...<r> 



die y^, . . . y„ haben also dieselbe Substitution Ay^ erfahren , die auch 

 einem Umlaufe von .r entspricht, der den Schnitt /„ einmal im positiven 

 Sinne durchkreuzt :• 



2. vollzieht ö^ einen Umlauf, der den Schnitt 4 einmal im positiven 

 Sinne überschreitet, oder, was auf dasselbe hinauskommt, «/, einen 

 Umlauf, der den Schnitt 4 einmal im positiven Sinne passirt, so treten 

 für h<.X an die Stelle der A^,...A^ die Substitutionen 



(2) 



A^= A^\\,\\hA.^A,,, 



'"■ _ _ _ _ 



A,. = A,, ' A,, ' A/,A^ A, Ay " A/, ' A, A,, . {h<^< v), 



A=ArA.^A,, 



A^= A^, (>^<A, p'>>-)- 



Die Gleichungen (i), (2) stellen für jedes Werthepaar 

 7/ , Ä = o , I , . . . a : A < A 



eine Operation dar, die das System A^ . . . . A. A'on Fundamentalsub- 

 stitutionen der Gruppe in ein anderes »ähnliches« System von Funda- 

 mentalsubstitutionen derselben Gruppe überführt. Denkt man sich 

 aus diesen -J- er (er + i ) Operationen als Fundamentaloperationen eine 

 Gruppe G componirt, so liefern die Operationen von G, auf die ^4, , ... A^ 

 angewandt, die Gesammtheit aller Systeme A,,...A^, die für alle mög- 

 lichen geschlossenen Bahnen der a^, . . . u^ an die Stelle der A, , . . . A. 

 als Fundamentalsubstitutionen der Gruppe zu treten haben. Die- 

 jenigen Operationen von G, die in der simultanen Transformation der 

 A,,...A^ mit einer Substitution von bestehen, bilden eine ausge- 

 zeichnete Untergruppe T von G; diese Gruppe T ist aus den er Opera- 

 tionen ( I ) für A = 1 , 2 , . . . er componirt. 



Beschreiben also die a^ , . . . a^ irgendwelche geschlossenen Bahnen, 

 so verwandelt sich das Functionssystem y,, . . . y^ in das durch das 

 Schema 



'3' ^u:--'-v 



dargestellte normirte Hauptsystem y^, ■ ■ ■ y„, welches füi' alle singulären 

 Punkte a, .... o.. 00 zu denselben Exponenten gehört wie y^, ■ ■ ■ yni 



