L. Schlesinger: RiEJiANN'sches Problem. 287 



und wo die Fundamentalsubstitutionen A,, . . . A^, die aus A, , . . . A^ 

 dui-ch eine Operation der Gruppe G hervorgehen, sich auf die ursprüng- 

 Uche Lage l,,...l^ der Schnitte beziehen. Da die Gruppe G als be- 

 kannt anzusehen ist, und da die A,,...A^ stets die Convergenz- 

 bedin,gungen erfüllen, kann das System (3) nach dem für die Lösung 

 des RiEM.'VNN'schen Problems ' gegebenen Verfahren stets hergestellt 

 Averden, man ist also im Stande, das analytische Verhalten der 

 y, , . . . y„ als Functionen der a, , . . . a^ vollständig zu übersehen. 



Die y^. . . . y„ befriedigen als Functionen von x eine Difterential- 

 gleichung {D) der FucHs'schen Glasse, die mit {D) nicht allein die 

 wesentlichen singulären Punkte, sondern auch die Monodromlegruppe 

 gemein hat, dagegen sind die zu den Schnitten 4 , . . . /^ gehörigen 

 Fundamentalsubstitutionen für (1)) andere als für (D). Die Coefficienten 

 von (jD) gehen aus denen von (7J) dadurch hervor, dass man die o, , . . . «^ 

 die betrachteten geschlossenen Bahnen beschreiben lässt. Wenn die 

 ^4, , . . . A^ aus den A^, . . . A, durch eine Operation der Untergruppe V 

 hervorgehen, sind die Diflerentialgleichungen [D) und (D) mit einander 

 identisch, sonst aber im allgemeinen nicht. Die Coefficienten von (D) 

 besitzen also im allgemeinen als Functionen von a.^ die Punkte a„ 

 {\x =}= A) zu Verzweigungspunkten, während sie in der Umgebung von 

 a.^ ■=. X eindeutig sind. 



Im Sinne der in der Nummer V meiner Arbeit" gemachten Bemer- 

 kungen geben die hier .skizzirten Resultate auch vollständigen Aufschluss 

 über die Frage, wie die Lösungen einer beliebigen Differentialgleichung 

 der FucHs'schen Classe, deren Monodromlegruppe von einem in den 

 Coefficienten auftretenden Parameter unabhängig ist^, von diesem Para- 

 meter abhängen. 



IL 



Wenn für eine Operation von G, die ^4, , . . . ^1, in ^, , . . . ^4, über- 

 führt, eine lineare Substitution B mit nicht verschwindender Deter- 

 minante existirt, die die c symbolischen Gleichungen 



(i) BA^ = Ä,B (.= .,2,...^) 



befriedigt, so soll gesagt werden*, die betreffende Operation von G werde 

 durch die lineare Substitution B inducirt. Die inducirende Substitution 

 B (der Inductor) transformirt offenbar jede Substitution der Gruppe 



' Crem.e's Journal Bd. 123. 



^ Crelle's Journal Bd. 123, S. 173. 



' Fuchs, diese Berichte 1888 ff. 



* Nach einer in der Formentheorie in anderm Sinne angewandten Bezeichnung. 



Sitzungsberichte 1902. 31 



