288 Sitzung der phys.-math. Classe v. 13. März. — Mittheilung v. 27. Febr. 



in eine Substitution derselben Gruppe, seine Existenz bedingt also 

 einen »Isomorphismus der Gruppe in sich selbst«.' 



Die Oi^erationen der Untergruppe T werden stets durch Substitu- 

 tionen von inducirt; soll aber für eine nicht in T enthaltene Ope- 

 ration von G ein Inductor vorhanden sein, so müssen die homogenen 

 linearen Gleichungen, die sich aus (i) für die n' Coefficienten des 

 Inductors B ergeben, mit einander verträglich sein, was ein System 

 von Bedingungsgleichungen für die Coefficienten der A^ , . . . A^ liefert. 



Sind diese erfüllt . und ei'legt man dem Inductor B noch die Be- 

 dingung auf. dass seine Determinante den Werth Eins besitzen soll, 

 so gilt der Satz, dass dieser unimodulare Inductor stets ein- 

 deutig bestimmt ist. falls die Gruppe irreductibel ist. 

 Offenbar sind die Coefficienten dieses Inductors von den Grössen x, 

 «i , . . . o, unabhängig. 



Die Irreductibilität von wird im Folgenden stets vorausgesetzt. 



Existirt der unimodulare Inductor B. so geht das Functionssystem 

 y, , . . . y„- i» welches sich y^. . . . y„ verwandelt . wenn die ö, . . . . o,. 

 diejenigen geschlossenen Bahnen beschreiben, die den Übergang von 

 ^4, . . . . A^ zu A^, . . . A. ^-erlu•sachen , aus y, , . . . y„ durch Anwendung 

 der Substitution B hervor. In diesem Falle ist also die Differential- 

 gleichung (ü). der die y^. ...y„ genügen, mit {D) identisch. 



Mögen nun für die t — i Operationen von G. die durch (2) Nr. I 

 für die Werthepaare 



( I . y.) . . . . (X — I . ;c) . (y.. K-\-\) ....(■/.. a) 

 von (// . A) dargestellt werden. Inductoren 



(2) 5,«...-5.-,..- 5,.«+x •• ■5,,. 



vorhanden sein. Dann erfahren die y, ....y,,. wenn a^ einen belie- 

 bigen geschlossenen Umlauf vollzieht, eine lineare Substitution der aus 

 den 0- — I Substitutionen (2) und aus B^^-=.A^ als Fundamentalsub- 

 stitutionen comjionirten Gruppe 0^. Die Coefficienten der Differential- 

 gleichung [D] sind in diesem Falle eindeutige Functionen von a^ 

 und die y^. . . . y„ befriedigen als Functionen von a„ eine homogene 

 lineare Differentialgleichung n'" Ordnung (DJ, deren Coefficienten ein- 

 deutig von a^ und rational von x abhängen." Die Monodromiegruppe 

 0, dieser Differentialgleichung (Z)J ist von den in den Coefficienten 

 von {DJ als Parametern auftretenden Grössen x. a^, (fx^y.) unab- 

 hängig. 



' Vergl. für diesen Begrift" von Dyck, Mathein. Annale« Bd. 20, S. 10; Holder, 

 ebenda, Bd. 43, S.313. 



" Vergl. hierzu Fuchs, diese Berichte 1891, 8.1640'. 



