L. Schlesinger: Riemann'scIics Problem. 289 



Wesentlich erscheint der Umstand, d;iss die Eigenschaft des durch 

 das ursprüng'liclie RiEMANN'sche Problem definirten Functionssystems 

 y,, . . . y„, als Functionssystem von a^ einer linearen Diflerentialgleichung 

 w'" Ordnung mit in o, eindeutigen Coefficienten zu genügen, hiernach 

 ganz allein in der besonderen Beschaffenheit der Funda- 

 mentalsubstitutionen A^, . . . A^ wurzelt, zufolge deren die In- 

 ductoren (2) existiren. 



Maclit man noch die weitere Voraussetzung, dass die Funda- 

 mentalsubstitutionen 



(3) -Bfe [(/.,x) = (o,x),...(.,^)] 



von 0^ die Convergenzbediugungen erfüllen, so folgt nach einem Satze*, 

 dass sich ein Functionssystem 



(4) y.^, ■ ■ ■ y.n 



von ö„ angeben lässt, welches einer mit [D^ cogredienten Differential- 

 gleichung der FucHs'schen Classe genügt und durch das sich die y^, . . .y^ 

 in der Form 



(5) y. = ^^y^^-^r,--^^ . . . +'•„-. -^^ = ..3,...n) 



darstellen lassen, wo die ?\, . . . r„_^ eindeutige Functionen von a^ sind. 

 Wählt man das Functionssystem (4) gleich als normirtes Hauptsystem, 

 so gelten für dieses Functionssystem von a^ dieselben Sätze, die wir 

 für das Functionssystem y^, . . .y„ von x entwickelt haben, nur haben 

 die Grössen x und a^ ihre Rollen vertauscht, und an die Stelle der 

 Gruppe ist die Gruppe 0, getreten. 



Man gelangt also in diesem Falle, ausgehend von dem ursprüng- 

 lichen RiEMANN'schen Probleme, zu Systemen von Functionen der beiden 

 Variabein x, a^, die in Bezug auf jede dieser beiden Variabein ein 

 ganz gleichmässiges Verhalten zeigen. Durch die beiden aus- 

 gezeichneten Systeme y, , . . . y„ und y«i , . . . y,„ , die als Functionen von 

 X bez. von a, Differentialgleichungen der Fucns'schen Classe befriedigen, 

 lässt sich jedes der gedachten Functionssysteme in der Form 



r.yi 



r.y,r 



' dx " ' dx'' ' 



da^ da" 



darstellen, wo die r^. . . . r„_, , Tq, . . . r„_i eindeutige Functionen von 

 X und a bedeuten. 



' Theorem I. meiner Notiz. Crei.le's Journal Bd. 124, S. 53,54. 



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