290 Sitzung der phys.-math. Classe v. 13. März. — Mittheiliing v. 27. Febr. 



Wenn die Operationen (2) Nr. I der Gruppe G für alle ^ö"((t — i) 

 Indexpaare 



Ä . A = I , 2 , . . . er : A < A , 



Inductoren B^y_ besitzen, so gilt das eben für a^ Gesagte, für alle sin- 

 gulären Punkte a, , . . . a, . Es entspringen dann aus dem RiEMANN'sclien 

 Problem, von dem wir ausgegangen waren, Funetionssysteme der g^+i 

 Variabein 



«o , (7i , . . . O^ , (ao = .r) 



die in Bezug auf jede dieser Variabein a^ eine lineare homogene 

 Differentialgleichung (D^) mit in allen er + 1 Variabein eindeutigen 

 Coefflcienten befriedigen. Die wesentlichen singulären Punkte von (DJ 

 sind die Punkte «„, (|W=t='c) und 00, und die Monodromiegruppe 0„ dieser 

 Differentialgleichung ist von den a^ , ()M =|= x) unabhängig. ^ 

 Bildet man aus den 



5to. (A,>. = 0,I,...cr;A<X) 



als Fundamentalsubstitutionen eine Gruppe ©-+1. so entliält diese alle 

 linearen Substitutionen, die ein Functionssystem von der betrachteten 

 Art erleidet, wenn die a„, a^ , . . . a^ irgend welche geschlossenen Bahnen 

 beschreiben. Diese Gruppe ist mit G holoedrisch isomorph und enthält 

 die Gruppen 0„ als ausgezeichnete Untergruppen. Erfüllen insbesondere 

 die Fundamentalsubstitutionen der Gruppen 0„ die Convergenzbedin- 

 gungen, so gibt es für jeden Werth des Index x. Functionssysteme, 

 die als Functionen von a^ Differentialgleichungen der FucHs'schen Classe 

 genügen, und diu-ch diese (r-i-i speciellen Systeme lässt sich jedes 

 andere System dem erwähnten Theoreme gemäss darstellen. 



Solche Functionssysteme mögen wohl Riemann A'orgeschwebt ha- 

 ben, als er die später von ihm selbst als «nicht richtig« bezeichneten, 

 in dem Abdruck des Fragmentes mit kleinerm Druck wiedergegebenen 

 Zeilen^ niederschrieb. 



Ein Beispiel solcher Functionssysteme wird durch die Lösungen 

 der TissoT-PocHHAMMER'schen Differentialgleichung geliefert. (Gewisse 

 besondere Fälle haben die HH. Appell, Picard. Goursat. Hörn, Le Va- 

 VASSEUR, Wirtinger behandelt. 



' Vergl. Fuchs, diese Berichte 1891, S. 164 — 1( 

 2 Werke, S. 385,386. 



Ausgegeben am 20. März. 



