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Über Grruppen des Grrades p oder/> + i. 



Von G. Frobenius. 



Ist der Grad einer transitiven Gruppe § eine Primzahl "p, so ist ihre 

 Ordnung h =^ "pq^np -^ \) , wo q ein Theiler von p-1 ist und np + 1 

 die Anzahl der verschiedenen in i5 enthaltenen Gruppen ^ der Ord- 

 nung p ist. Alle diese Untergruppen sind einander conjugirt, und 

 die mit *p vertauschbaren Elemente von i3 bilden eine Gruppe ^*' der 

 Ordnung pq. Ist ?« = 0, so ist ^ eine metacyklische Gruppe. Eine 

 solche giebt es für jeden Divisor q von J9-1. Dieser Fall w ^ tritt 

 stets ein , wenn ? .^ 1 ist , und , falls f = 4 Ä" + 3 ist , auch stets , wenn 

 q = 2 ist. Alle diese Ergebnisse verdankt man Mathieu (Liouv. Journ. 

 sör. n, tomeVI, i86i; Ghap. IV). 



Für jeden Werth von p giebt es ausser den metacyldischen 

 Gruppen die alternirende Gruppe, wofür q = ^{p-l), und die sym- 

 metrische Gruppe , wofür q = p-l ist. Ausserdem kennt man noch 

 die folgenden transitiven Gruppen: 



P 7 11 



g 3 ö 



n 1 ] , 1 3 



und allgemein, wenn s und / Primzahlen sind, ^-1 nicht durch s 

 theilbar ist, und r = t-" gesetzt wird, und wenn 



eine Primzahl ist, 



A = ^(r* — r) (r" — «•-)••• (r^ — r*~')s^ , ^ ^ s>'+i. (X = 0, 1, ••• ;/; 



Dass q = s'-^' ist, folgt aus der identischen Congruenz 



{x—l)[x — r)[x — r^)--- (« — ?■""') --■ x'' — 1 (mod. p). 



So giebt es für jede Primzahl der Form p = 2"" + !, wo »1=^2" 

 ist, iJL + l Gruppen der Ordnungen {2"'" -1)2"'+^, worin g = 2'-+' und 

 n = 2'"-'-l := |(p-3) ist. 



Dass es für p = 19, 47 und 59 solche Gruppen nicht giebt, be- 

 hauptet C. Jordan (C. R. tome 79, 1874, P-ii49)- 



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