352 Gesanimtsitzung vom 10. April. 



In einer interessanten Arbeit Sur les groupes du degre p et de 

 Vordre ^(p + l)7r, p etant un nombre premier^ et ir un diviseur de p-\ 

 (Videnskabsselskabets Skrifter I. Mathematisk-naturv. Klasse 1897, 

 No. 9) beschäftigt sich Sylow mit den Gruppen des Grades p, für 

 die n = \ ist, und findet, dass dieser Bedingung nur vier Gruppen 

 genügen , die schon von Galois entdeckt sind : 



I. Es gieht nur vier transitive Gruppen^ deren Grad eine Primzahl 

 p istj und die p + 1 Zhitergruppen der Ordnung p enthaltenj, die alter- 

 nirende und die symmetrische. Gruppe des Grades 5^ deren Ordnungen 

 gleich 60 und 120 sindj, und die beiden einfachen Gruppen der Grade 7 

 und \\j deren Ordnungen gleich 168 und 660 sind. 



Der Beweis dieses Satzes gelingt ihm aber nur unter der Vor- 

 aussetzung, dass q = \{p-V} oder p-\ ist. Die Substitutionen einer 

 Gruppe § der Ordnung h =:^ pq{p + \), die eins der p Symbole un- 

 geändert lassen, bilden eine Gruppe ® der Ordnung q(p + \). Die 

 Eigenschaften der Gruppe § lassen sich leichter erkennen, wenn man 

 sie durch die Permutationen nicht von p , sondern von ^ + 1 Symbolen 

 darstellt. Dabei macht die Construction der Gruppe @ eine gewisse 

 Schwierigkeit, die Sylow in folgender Art überwindet: der Gruppe ® 

 ordnet er eine ganz bestimmte Substitution J der ^ + 1 Symbole zu, 

 die aus |(j? + l) binären Cyklen besteht. Da die transitive Gruppe @ 

 keine Substitution der Ordnung p enthält, müssen alle Substitutionen 

 von ® , die ein Symbol a nicht ändern , noch ein bestimmtes anderes 

 Symbol /3 ungeändert lassen. Dann ist {ot., ß) ein Cyklus von J. Diese. 

 Substitution gehört der Gruppe <ö nicht an, aber ® besteht aus allen 

 Substitutionen von Jö> clie mit J vertauschbar sind. Transformirt man 

 J mit den h Substitutionen von ^ , so erhält man nur p verschiedene, 

 coujugirte Substitutionen J,Ji, ■■■ Jp-i, die den p mit @ conjugirten 

 Gruppen ® , ®, , • • • ®p_, entsprechen. 



Ist in der Orännng h =^ pq{np + 1) einer Gruppe Ö des Grades J9 

 die Zahl n>0, so ist § entweder eine einfache Gruppe, oder sie ist 



zusammengesetzt aus einer cyklischon Gruppe -— der Ordnung -^, wo 



q' ein Theiler von q ist , und einer einfachen Gruppe §' <ler Ordnung 

 pq'{np + l), die von den np + l in Ö enthaltenen Gruppen ^ der 

 Ordnung p erzeugt ward (Sylow, Math. Ann. Bd. 5). Ist p-l — q'r', 

 so enthält §' eine Substitution Q', die aus r' Cyklen der Ordnung q' 

 besteht. Da §' als einfache Grup]3e keine ungerade Substitution ent- 

 hält, so muss r' gerade sein. 



Die Versuche, die Sylow in § 3 seiner Arbeit macht, um zu be- 

 weisen, dass in dem Falle 2q<.p-\ nicht n = 1 sein kann, führten 

 nicht zum Ziele. Wie er aber besonders hervorhebt, ist dann die 



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