Frobenius: Über Gruppen des Grades ;j oder;j+l. 853 



Gruppe (S des Grades p-l intransitiv. Daher wird diese Lücke durch 

 den wichtigen Satz ausgefüllt, den drei Jahre später Burnside (Proc. 

 of the London Math. See. vol. 23, p. 174) mit Hülfe der Gruppen- 

 charaktere erhalten hat: 



Jede transitive Gruppe von Pritmahlc/rade^ die nicht metacyklisch ist_, 

 ist zweifach transitiv. 



Ist also n>0, so ist h^pq{np + l) durch p(p~l) = pqr theil- 

 bar, also np + l durch r, und falls q'<.q ist, auch durch r' . Mithin 

 ist n = — 1 (mod. r) und sogar (med. r'). Beiläufig folgt daraus , dass 

 n immer ungerade ist. 



Füi' den von Sylow aufgestellten Satz will ich hier (§ 5) einen 

 neuen Beweis entwickeln, bei dem die Verwendung von Substitutionen, 

 die der Gruppe S^ nicht angehören, vermieden wird. Statt dessen 

 Averden neben den Substitutionen der Ordnung 2, die auch Sylow 

 gebraucht hat, die der Ordnung 3 in der ausgiebigsten Weise benutzt. 

 Zugleich gebe ich dem Beweise dadurch eine andere Wendung, dass 

 ich den Satz I mit allgemeineren Sätzen verknüpfe, die auch für sich 

 ein gewisses Interesse beanspruchen dürften. 



Für jede Primzahl p giebt es eine transitive Gruppe § des Grades 

 p + 1 und der Ordnung ],p{p'^—\). Ist p > 3, so ist sie einfach. In 

 den speciellen Untersuchungen über die Gruppen der Grade 6. 12 und 

 14 hat sich gezeigt, dass es nicht mehr als eine solche Gruppe giebt. 

 Für j5 = 7 aber giebt es zwei, von denen jedoch nur die eine ein- 

 fach, die andere aber auflösbar ist. Ich beweise hier allgemein: 



II. Ist p eine Primzahl, so giebt es nicht mehr als eine transitive 

 Gruppe des Grades p-\-\ und der Ordnung \p{p''-—\). Nur für j9 = 7 

 giebt es zwei solche Gruppen. 



Ich benutze die Gelegenheit, auf folgenden Satz aufmerksam zu 

 machen, den Cauchy (Compt. Rend. tome 21, p. 1200) ausgesprochen, 

 aber nicht bewiesen hat: 



Ist gn die Ordnung einer primitiven, aber nur einfach transitiven 

 Gruppe des Grades n, so ist g die Ordnung einer Grupjae, deren Grad 

 ein echter Theiler von n — l ist. 



Miller hat, On the Primitive Substitution Groups of Degree Sixteen, 

 American Journ. of Math. vol. 20, p. 234, vier primitive Gruppen des 

 Grades n = 16 gefunden, wofür (/ = 18, 36, 36 und 72 ist. Es giebt 

 aber keine Gruppe des Grades 3 oder 5, deren Ordnung eine durch 

 9 theilbare Zahl g ist. Demnach ist jene Behauptung nicht allgemein 

 richtig. Cauchy folgert daraus: 



Ist p eine Primzahl, so ist jede primitive Gruppe des Grades p +\ 

 zweifach transitiv. 



Dies hat sich für die Primzahlen bis ^ ^ 13 bestätigt. 



