354 Gesammtsitzung vom 10. April. 



§ I- 

 Die Gruppe ß der Ordnung h = pq(p + l), wo 25'=^-! ist. 

 lasse sich als transitive Grujipe von Permutationen der p + l Symbole 



(i.) 00,0,1, •■■ p-1 (mod.p) 



darstellen. Die Primzahl p ist im Folgenden der Modul bei allen Con- 

 gruenzen, bei denen nicht ausdrücklich ein anderer Modul angegeben 

 ist. Die Permutationen von ^, die das Symbol 00 nicht ändern, bilden 

 eine Gruppe %^' der Ordnung pq, die keine invariante Unterguppe von 

 § enthält. Da q <p ist, so enthält ^' nur eine Gruppe ^ der Ord- 

 nung p. Diese möge aus den Potenzen der Substitution 

 (2.) P= (oo)(0,l, •■•p-1) oder rj eee § + 1 



bestehen. Demnach enthält >ö P + l Gruppen der Ordnung p. und %< 

 besteht aus allen mit ^^* A^ertauschbaren Substitutionen von .V). Die 

 Substitutionen von ^»', die das Symbol nicht ändern, also die Sub- 

 stitutionen von §, welche und 00 ungeändert lassen, bilden eine 

 cyklische Gruppe O der Ordnung q. Sie besteht aus den Potenzen 

 der Substitution 



(3.) Q = (oo)(0)(l,7SyS •••y''-')(y,y^y^ •••y''-'-) oder rj = y^g, 



wo 7 eine primitive Wurzel der Primzahl p ist. Ausser der identi- 

 schen Substitution i^ enthält 5 keine, die mehr als zwei Symbole un- 

 geändert lässt. 



Da die Gruppe § zweifach transitiv ist, so enthält sie eine Sub- 

 stitution R der Ordnung 2, worin der Cyklus (O.oo) vorkommt. Diese 

 ist mit vertauschbar, es ist 



(4.) Ä-'QR = D, R-'QR = Q". 



Diese Relation bleibt ungeändert, wenn man R durch R! = RQ' und 

 Q durch Q' = Q^ ersetzt, die Zahl n (mod. q) ist daher nur von der 

 Constitution der Gruppe *ö abhängig. Transformirt man jene Gleichung 

 noch einmal mit R, so erhält man. weil R^ ^= E ist, 



(5.) w^=l (mod. 9). 



Der Beweis des Satzes II gestaltet sich sehr verscldcden, je naclidem 

 ^ = 1 oder 3 (mod. 4) ist. 



§2.' 



p = ik+ 1. 

 Die Gruppe i3 enthält eine und nur eine Substitution der Ord- 

 nung 2, die und 00 ungeändert lässt, nämlich Q^, demnach, da sie 

 zweifach transitiv ist, k P iP + ^) Substitutionen der Ordnung 2, die 



