Frobenius: Über Gruppen des Grades^ oderp+l. 355 



zwei Symbole nicht ändern. Diese sind einander conjugirt und ent- 

 halten jede q, also zusammen ':^p{p->r\)q binäre Cyklen. 



Sind R und B! zwei Substitutionen , worin der Cyklus (0 , c») vor- 

 kommt, so lässt R R~^ die Symbole imd oo ungeändert. ist also eine 

 Substitution Q* der Gruppe Ö. Der Cyklus (0 , oo) kommt daher in ge- 

 nau q verschiedenen Substitutionen RQ" vor, und ebenso jeder andere 

 binäre Cyklus (a,/3). Folglich enthalten alle Substitutionen von Ö zu- 

 sammen nur \p{p + ^)q binäre Cyklen. Mithin enthält Jp nicht mehr 

 als \p{p + 1) Substitutionen der Ordnung 2, jede von ihnen lässt zwei 

 Symbole ungeändert, und jede Substitution von §• die einen binären 

 Cyklus enthält, hat die Ordnung 2, z. B. die Substitution RQ. Daher ist 



oder die in der Formel (4.), § i auftretende invariante Zahl n ist 

 gleich -1. 



Da die Substitution R zwei Symbole x.A nicht ändert, so trans- 

 Ibrmirt sie jeden der beiden Cyklen von Q in sich. Sie vertauscht 

 daher 1 mit einem quadratischen Reste, 1 , 7^, ••• v''"'. Nun kann man 

 aber R durch RQ" ersetzen und dadurch bewirken, dass dieser andere 

 Rest ein vorgeschriebener wird, etwa —1. Erst dadurch ist R voll- 

 ständig bestimmt. Sie ersetzt der Relation (i.) zufolge jeden Rest ot 



durch , und wenn sie einen bestimmten Nichtrest /3' durch — -^ 



a p 



ersetzt, so ersetzt sie jeden Nichtrest H dm'ch —-^, wo p ein be- 

 stimmter Rest ist. 



Die Substitution S =^ RP enthält den ternären Cyklus (0,oo,l). 

 Daher lässt S^ drei und folglich, weil keine Substitution von § weniger 

 als p-l Symbole versetzt, alle Symbole ungeändert. Jeder Cyklus von 

 S hat mithin die Ordnung 3 oder 1. Da -1 ein Rest ist, so giebt 

 es unter den Zahlen 2,3, ■'■ p—2 einen Nichtrest u-l, dem ein Rest u 

 folgt. Dann findet sich in S der Cyklus 



/ a-l^ (p-l)ft + l \ 



Die Substitution S-' = P-'i2 führt u in --^ über. Mithin ist (p-l)a + l = p 



a-i j 



und folglich f = 1. Daher ersetzt R jeden Index ^ durch 5i = -y. 



§3- 

 p = 4k+ 3. 



Dasselbe gilt für p = 4Ä-t-3, aber mit einer Ausnahme, und die 

 Herleitung ist eben darum etwas umständhcher. Da g- = 2 ^ + 1 un- 

 gerade ist, so enthält O keine Substitution der Ordnung 2. Jede solche 



