B56 Gesamiiitsitzung vom 10. April. 



Substitution R versetzt daher alle Sjrmbole. Die Substitution R. die 

 der Bedingung 



(I.) R-'QR=^Q" 



genügt, kann mithin niclit jeden Cyklus von Q in sich transformiren, 

 da die Anzahl q der Symbole eines Cyklus ungerade ist und demnach 

 mindestens eins dieser Symbole nicht von R versetzt würde. Daher 

 vertauscht R die Symbole des einen Cyklus von Q mit denen des 

 anderen. Ersetzt R den Rest 1 durch den Nichtrest -p = -y^'", so 

 ersetzt R der Relation (i.) zufolge jeden Rest u durch den Nichtrest 

 — px" = ß. 



Da n — l, n + 1 und q theilerfremd sind, so kann man die Zahlen 

 fx und V so bestimmen, dass ß^n-l) + v{7i + l)~X (mod. q) ist. Ist dann 

 X = —iJ,{7i-l), so ist X, + X = v{n + 1) und mithin, weil n' = 1 (mod. q) ist, 

 x(m + 1) = 0, (x + X)(«-1) = (mod. 9). 



Ist also R' = RQ\ so ist R" = iR-'Q-'R)Q' = Q^"+'^^ = E. Folglicli 

 Icann man R durch R' ersetzen. Dann geht o in p' = y^^"'^'-^ über, 

 genügt also der Congruenz p'""'eh1. Wir denken uns R von 

 vorn herein so gewählt, dass p" = p ist. Aus -ßE^pa" folgt dann 

 (-/S)" = p°ot"' = pÄ, weil a' = l und «^=1 (mod. g) ist. Daher besteht 

 R aus t(^ + 1) binären Cyklen der Form 



R: (0,c»), (u,-pa"), (ß,p-'(-ß)"), 



wo a die g Reste, /3 die g Nichtreste durchläuft. Ist nun Q' die Po- 

 tenz von Q, die jedes Symbol mit p~^ multiplicirt , also die Substi- 

 tution vj ee; p~^^ , so enthält die Substitution 



S = RQ'P 



den ternären Cyklus (0, oo, 1) und folglich lauter Cyklen der Ordnung 

 3 oder 1. Ich unterscheide nun, ob p — 1 Rest, Nichtrest oder Null ist. 

 Ist p-1 = tr Rest, so enthält <S den Cyklus 



{p, -a, 1 + p-V"), 



und da p durch S~' in -p^c" übergeführt wird, so ist 

 (p' + p-')a" ^ -1. 

 Durch Betrachtung des Cyklus 



{p-\ p-^a, l-p-'a-"), 



der auch in 3 Cyklen der Ordnung 1 zerfallen kann . erhält man in 

 derselben Weise 



2o-" = p. 



Eliminirt man er", so findet man nach Aufhebung des Factors p +1 



p^-p^-\-p + l = 0, l-p = -p^a. 



