Frohenhs: Über Gi-iipiieii des Grades;* odei';j+l. 357 



Demnach eutliält S den C'yklus 



{-p, -pir, l+p-'o-"), 

 und mithin ist 



(c''+p-'),7" _; -1, p-. = -3. 



Eliminirt man p. so erliält man p = 7. c __ 2, demnach 



(2.) A' = (0,:x.)(I,-2)(2,-4)(4,-l), 



und weil c""^ 1 ist, n = 1 (inod. q), also QU = RQ. 

 Dil" aus den Potenzen der Substitution 



P= (co)(0,l,2, •••p-1) 

 gebildete Gruppe "(p erzeugt mit den beiden Substitutionen 



Q= (0)(oo)(l,7^•■•yP-ä)(-l,-y^...-yP-3) 

 R: (ü,oo), {a,-pa"), (ß,p-'{-ß)") 



eine Gruppe, deren Ordnung durch pq theilbar ist. Sie enthält zwei 

 verschiedene Gruppen %^ und 7?"' %^R der Ordnung p . also mindestens 

 ^ + 1 solche Gruppen. Daher erzeugen %^.Q,R die Gruppe .s3. falls 

 eine solche existirt. 



Ersetzt man in der erhaltenen Darstellung von § überall A durch 

 -A, so erhält man eine mit .s3 isomorphe Gruppe §'. Dadurch geht 

 aber P in 



(co) (0,-1,-2, p + i) = P-^ 



über, es bleibt also %^ und ebenso Q ungeändert, während R, wenn man 

 die Zeichen — iz und -ß durcli /3 und a ersetzt, in 



i?': (0,^), (ß,p(-ß)'0, {a,-p-'a") 



übergellt. Diese Gruppe S^' unterscheidet sich also von i3 nin- da- 

 durch, dass p durch p"' ersetzt ist. Ist aber o — 1 Rest, so ist /;"' — ! 

 ^ -p-'(p-\) Nichtrest. 



Der Fall, wo c — 1 Nichtrest ist, geht aus dem eben beliandelten 

 herv(jr, indem man p durch p~' ersetzt, und führt zu einer mit § 

 isomorphen Gruppe .S3'. 



Sei endlich p =1. Unter n kann man eine zwischen und q 

 liegende Zahl verstehen. Ist n gerade, so ersetze man n durch n — q. 

 Dann ist n eine zwischen - q und + q liegende imgerade Zahl. Dem- 

 nach ist ra'' = 1 (mod. p— 1) und 



R = (0,«.), (§,-§"), 

 da man zwischen Resten luid Nichtresten nicht mehr zu unterscheiden 

 braucht. Die Substitution S ^ RP enthält den Cyklus (0,oo,l) und 

 tlemnach. falls 'S, von und 1 verschieden ist, den Cyklus 



(§, 1-g", 1-(1-|")"), 



