358 Gesammtsitzung vom 10. April. 



und da ? durch <S"' in (1 — ?)" übergeführt wird, so ist 



(l-?)" + (l-|")» = l 



für alle Werthe von ^ ausser und 1. Der Congruenz §" = ? genügt 

 also ausser und 1 nur ein solcher Werth, für den 2(1— |)" = 1 ist, 

 oder wenn man auf die n'' Potenz erhebt, 2"(1-|) = 1. Weil mithin 

 die Congruenz §""' eh 1 nur zwei Wurzeln hat, so i.st der grösste ge- 

 meinsame Theiler von «-1 und p-l gleich 2. folglich ist n-l zu q 

 theilerfremd , und da (n-l)(M + l) durch q theilbar ist, so ist n = -\ 

 (mod. q), und demnach ist R die Substitution *) = - j. 



§4- 

 Sieht man von dem nur lür p = 1 möglichen Ausnahmelalle ab, 

 wo « ^ 1 ist, so ist stets n = — 1, und ^3 enthält eine Substitution R. 

 die 5 in */) = -t verwandelt, und eine Substitution P. die § in -/i — '£, + 1 

 überführt. Aus diesen beiden aber lassen sich aUe Substitutionen 



!l 



y + öS . M l 



(I.) ^=Txirf' «ö^-ßy^i all 



a + ßl 



zusammensetzen. Da diese eine Gruppe des Grades p + 1 und der 

 Ordnung l^(p^-l) bilden, so muss sie mit § übereinstimmen. 



Eine und zwar höchstens eine davon verschiedene Gruppe kann 

 es nur für p^=l geben, und giebt es wirklich: 



In einem Galois" sehen Felde der Ordnung p"' bilden die Sub- 

 stitutionen >i = Ä? + /3 eine Gruppe der Ordnung p"'{p'" -\). Ist m = cd, 

 so bilden allgemeiner, w'ie a. a. 0. Mathieu gefunden hat. die Sub- 

 stitutionen 



(2.) y] = c(§''"'+ß (n=0, 1, ••■ rf-1) 



eine Gruppe § des Grades />" und der Ordnung p'"[p"'-\)d. Sie hat 

 eine invariante Untergruppe der Ordnung p'"{p'"-\) imd eine darin 

 enthaltene invariante Untergruppe der Ordnung p". Letztere ist eine 

 elementare Gruppe, d. h. eine commutative Gruppe, deren Elemente 

 alle die Ordnung p haben. Allgemeiner nenne ich eine Gruppe ele- 

 mentar, wenn sie keine charakteristische Untergruppe hat, wenn sie also 

 das directe Product von mehreren isomorphen einfachen Gruppen ist. 



Sei p = 2 und 2'"-l eine Primzahl, die ich jetzt wieder mit p 

 bezeichnen wiU. Dann ist m eine Primzahl, die nach dem pEKMAx'schen 

 Satze in j>-l aufgeht, und 5 eine Gruppe des Grades p + l und der 

 Ordnung ^(^ + 1)5', wo g' = 1 oder m ist. 



Ist 5» = m = 3, so ist 2q=^ p — \. Die Gruppe .»ö der Ordnung 168 

 enthält eine Substitution Q der Ordnung 3, -/i = |^ die zwei Symbole 



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