Frobenius: Über Gruppen des Grades/? oder jo+1. 359 



und 1 nicht ändert, und eine damit vertausch laaro Substitution R 

 der Ordnung 2, >) = g + 1. 



Man erhält diese Gruppe .s3 fuich als Untergruppe der voll- 

 ständigen linearen Gruppe <l? des Grades 2^ und der Ordnung 

 2^(2^-l)(2^-2)(2'-2^). Diese enthält eine invariante Untergruppe SÄ 

 der Ordnung 8. Die Substitutionen von ^J, die ein Symbol ungeändert 

 lassen, bilden die einfaclie Gruppe % der Ordnung 1G8, dargestellt 

 als Gruppe des Grades 7. Ist ^' eine darin enthaltene Gruppe der 

 Ordnung pq ^l.o, so ist .S3 = Wl'^' die auflösbare Gruppe der Ord- 

 nung 168. Die transitiven Gruppen ® und ^ des Grades 8 und der 

 Ordnung 168 sind also beide in C enthalten. 



Die beiden isomorphen Gruppen § und Jö' erzeugen, weil 



i? = (0,oo)(],--2)(2,-4)(4,-l), Q = (1,2, 4) (-1,-2, -4) 



Ä'=(0,co)(l.-4)(2,-l)(4,-2), B'RQ= [1,4,2) 



ist, die alternirende Gruppe des Grades 8, können aber nur durch deren 

 äusseren, nicht durch einen inneren Automorphismus in einander über- 

 geführt werden. 



Ich erwähne noch einige Folgerungen aus dem Satze II: 



III. Ist p eine Primzahl > 3^ so giebt es eine und nur eine einfache 

 Gruppe der Ordnung ^^p{p^ — \). 



Denn eine solche Gruppe § enthält p + \ conjugirte Gruppen der 

 Ordnung p , kann daher als transitive Gruppe des Grades p + \ dar- 

 gestellt werden , und ist folglich die Gruppe ( i .) , die einfach ist, wenn 

 ^ > 3 ist. 



IV. Ist p eine Primzahl ^ so giebt es nicht mehr als eine transitive 

 Gruppe des Grades p + \ und der Ordnung p[p'^-\). 



Denn eine solche Gruppe ® enthält eine mit ^ vertauschbare 

 Substitution 



Q =^ {co){Q)(\ ,y,y-, ■•• yP--), oder r) = y? 



der Ordnung p-l , die ungerade ist. Die geraden Substitutionen von ® 

 bilden daher eine Gruj:)pe§ des Grades |j + 1 und der Ordnung ^, p[pi^-\). 



Diese enthält die mit R und P bezeichneten Substitutionen v\ = --^ und 



>1 = ^ + 1. Die Substitutionen P, Q, R erzeugen die Gruppe der linearen 

 Substitutionen 



der Ordnung p{p'' - 1). 



Ist p = 7, so kann Ö nicht die auflösbare Gruppe der Ordnung 

 168 sein. Denn ist 



Q= (1,-4,2,-1,4,-2), i? = (0, CO) (1,-2) (2, -4) (4,-1), 



