360 Gesainintsitzung vom 10. April. 



SO ist 



i?Q = (0,co)(l,4,2), (RQf={0,oD), 



und folglich erzeugen jr» und Q die symmetrische Gruppe des Grades 8. 



§ 5- 



Aus dem Satze II ergiebt sich leicht der von Sylow aufgestellte 

 Satz I. Die Ordnung einer transitiven Gruppe ^ des Grades p ist 

 h=:pq{np + l), wo q ein Theiler A^on p — l = qr ist und n^-l 

 (mod. r) ist. Ist also n = 1, so ist r = 1 oder 2 und q = p-\ 

 oder ^ip — l)- Im ersten Falle ist "5 zusammengesetzt, weil die Per- 

 mutationen der Ordnung p — ^ ungerade sind. In beiden Fällen ent- 

 hält Jö eine einfache Gruppe i3' des Grades p und der Ordnung 

 pq'{p + l), wo g' ein Theiler von q, aber nicht gleich p — l ist. Wie 

 eben gezeigt, sind fär q' andere Werthe als p — 1 oder ^{p — \) nicht 

 zulässig. Daher ist q' =^ ^{p-1), und folglich ist ^3' clie Gruppe (i.), 

 § 4. Als Gruppe des Grades p lässt sich diese aber nach Galois nur 

 darstellen, wenn ^ = 5,7 oder 11 ist. 



Ist 2q = p — l, so enthält eine Gruppe i3 der Ordnung h ^ pq(p + \) 

 und des Grades p + 1 eine Substitution P der Ordnung p, deren Potenzen 

 eine Gruppe ^ bilden, eine mit ^ vertauschbare Substitution Q der 

 Oi'dnung q und eine Substitution R, die den Bedingungen 



R-'QR=Q-\ R"-^E, {RPY = E 



genügt. Lässt sich nun i3 ftuch als transitive Gruppe von Permu- 

 tationen der p Symbole 



(l.) 0, 1, ■•• p-1 (mod. p) 



darstellen, so sei 



(2.) P=(o,\,-.-p-\), Q = {0)(\.y\---y^-')(y,y\---r-'). 



Ist p = 4^+3, also q ungerade , so kann R nicht die beiden 

 C'yklen von Q in einander transformiren. Sonst würde R aus q binären 

 Cyklen bestehen, also ungerade sein. Daher transformirt i2 jeden der 

 beiden Cyklen von Q in sich , besteht also aus Cyklen der Form 



(3.) «: (0), («,|)- (ß,f), 



WO a, die q Reste, ß die q Nichtreste durchläuft, und wo p und <r 

 zwei bestimmte Reste sind. Die Substitution S = RP der Ordnung 3 

 enthält den Cykkis (0,l,p + l), während von *S'"' in -er verwandelt 

 wird. Daher ist 



(4.) p + (7 + 1 = 0. 



