Frobenius; Über Gruppen des Grades/» üdei;j4-l. iUl 1 



Es kann aber nicht p = <t ~ — l- sein. Sonst würde R den Cyklus 

 (1>~1>I) enthalten und | in 3 — 4 überfüliren, wahrendes = 4 ä; + 8 ist. 

 Ist q =^ p-l, so enthält die Gruppe Ö der Ordnung h = pq(p + 1) 

 eine invariante Untergruppe JÖ' der Ordnung |A, aber keine andere. 

 Die mit ^ vertauschbaren Elemente von i3 bilden eine Gruppe %^' der 

 Ordnung pq. Da diese keine invariante Untergruppe von .sj entliält, 

 so Icässt sich sS als transitive Gruppe des Grades p + 1 darstellen , und 

 mithin ist ^ die Gruppe (3.) § 4. Sind Q' und R die Substitutionen 



Yi -^ y's, und >i = --. des Grades p + l, so ist R~'^Q'R = Q'~'. 



Nun ist leicht zu beweisen, dass sich .*ö für p = 7 oder 11 nicht 

 als Gruppe des Grades p darstellen lässt. Denn sonst ist bei der Dar- 

 stellung durcli p Symbole 



Q'=(0)(l,y,y^••■y'-^) 

 und folglich 



/' = (»). (1. f). 



während eben gezeigt ist, dass der Factor p nicht für Reste und Niclit- 

 reste derselbe sein kann. 



§6. 



Der Vollständigkeit lialber will ich auch den eben benutzten Satz 

 von Galois auf dem hier eingeschlagenen Wege herleiten. Ist ^ = 4A + 3, 

 so mögen P,Q,R und *S = RP dieselben Substitutionen von ^Symbolen 

 bedeuten, wie im vorigen Paragraphen. Die Gruppe § der Ordnung 

 ijp(/r-l) und des Grades j5 wird von *P,Q,Ä erzeugt. Ersetzt man 

 überall ? durch -^, so erhält man eine isomorj^he Gruppe, ^* und Q 

 bleiben ungeändert, in R A^ertausclien sich p und (r. Da er von p ver- 

 schieden ist, so kann man sich auf den Fall beschränken, wo <T-p 

 Rest ist. Da 



ist, so enthält S = RP den ternären Cyklus 



(:■ 



p-a- \ 



und führt das letzte Symbol in 



pa p 



p — cr CT 



Über. Daher ist 



(a--p)- '= per". 



I. Ist 2 Rest, so enthält <S' den Cyklus 

 (-2(7, I, p-a) 



